Questões de Cálculo com Integrais

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1Utilizando as mesmas técnicas de integração simples podemos calcular integrais múltiplas de funções que dependam de múltiplas variáveis. Determine o valor da integral tripla a seguir, utilizando as técnicas de integrações conhecidas para integral simples:
A
O valor da integral tripla é 3.
B
O valor da integral tripla é cos(3).
C
O valor da integral tripla é 4.
D
O valor da integral tripla é - 4.
2A coordenada cilíndrica é muito utilizada para calcular integrais triplas. Esse sistema de coordenadas é baseado no sistema de coordenadas polares, pois caso fizéssemos uma projeção do ponto para o plano xy poderíamos utilizar o sistema de coordenadas polares. Calcule a integral tripla da função
A
27
B
81
C
12
D
54
3O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem de alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de inércia em torno do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um disco homogêneo com centro (0, 0) e raio igual a 2 e com densidade f (x, y) = 2 em torno do eixo y:
A
4 pi.
B
18 pi.
C
8 pi.
D
12 pi.
4A principal aplicação do conceito de integral é o cálculo de área. Para tanto, é necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de integrações. Utilizando tais regras, podemos afirmar que a integral dupla da função
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção I está correta.
C
Somente a opção II está correta.
D
Somente a opção IV está correta.
5Um dos Teoremas mais utilizados para calcular integrais duplas e triplas é o Teorema de Fubini, ele nos permite inverter a ordem de integração. Essa mudança na ordem de integração pode em certas integrais diminuir a quantidade de cálculos necessários para a resolução. Utilizando o Teorema de Fubini, concluímos que o valor da integral:
A
É igual a - 4.
B
É igual a 0.
C
É igual a - 3,5.
D
É igual a cos(3).
6O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em equilíbrio, caso esse objeto seja homogêneo. Para determinar o centro de massa, precisamos também saber a massa do objeto. Determine a massa de uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2), sabendo que a função densidade é f (x, y) = 3 - x + 2y:
A
0
B
5
C
10
D
4
7Umas das primeiras aplicações de integrais duplas que é estudada é o cálculo de volume de um sólido de base retangular. Utilizando integral dupla temos que o volume do sólido cuja base retangular no plano xy limitado por:
A
0.
B
7,5.
C
30.
D
15.
8Umas das primeiras aplicações de integrais duplas e tripas que é estudada é o cálculo de volume de um sólido. Utilizando as propriedades de integral dupla temos que o volume de um sólido é dado pela integral dupla:
A
45 unidades de volume.
B
40,5 unidades de volume.
C
94,5 unidades de volume.
D
103,5 unidades de volume.
9A principal aplicação do conceito de integral é cálculo de área. Para tanto, é necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de integrações. Utilizando tais regras, qual será o resultado do cálculo da integral a seguir?
A
e
B
0
C
2
D
1
Tabela de Derivada e Integral - Cálculo
Clique para baixar
10A principal aplicação do conceito de integral é o cálculo de área. Para tanto é necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as regras de integrações. Utilizando tais regras, calcule a integral dupla da função e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
A
2e
B
e - 2
C
2 - e
D
e + 2
1Uma partícula está se movendo segundo a função posição que depende do tempo. Então o vetor tangente unitário da função posição
A
Somente a opção II é correta.
B
Somente a opção I é correta.
C
Somente a opção IV é correta.
D
Somente a opção III é correta.
2Equações paramétricas são conjuntos de equações que representam uma curva, umas das aplicações de equações paramétricas é descrever a trajetória de uma partícula, já que as variáveis espaciais podem ser parametrizadas pelo tempo. Considerando uma reta paramétrica que liga o ponto A (-1, 1) ao ponto B (3, 3), analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a opção IV está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção I está correta.
D
Somente a opção III está correta.
3O movimento de uma partícula sobre o plano no ponto (x, y) é dado por uma função vetorial que depende de tempo t em segundos. Determine o ponto (x, y) da posição inicial da partícula e o instante de tempo que a partícula está no ponto (-7, 20), sabendo que a função movimento da partícula é:
A
A posição inicial é (1, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 0 segundos.
B
A posição inicial é (-3, 6) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 10 segundos.
C
A posição inicial é (3, 0) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 5 segundos.
D
A posição inicial é (5, -2) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t = 15 segundos.
4Para determinar o escoamento de um fluido ao longo de uma curva em um campo de velocidades, podemos utilizar a integração de linha sobre campos vetoriais (campo de velocidades). O escoamento ao longo do campo vetorial
A
Somente a opção I está correta.
B
Somente a opção III está correta.
C
Somente a opção II está correta.
D
Somente a opção IV está correta.
5O divergente de uma função vetorial mede como é a dispersão do campo de vetores. No caso de um fluido, o divergente pode indicar onde teria um sumidouro ou uma fonte dependendo do sinal já que o divergente de uma função vetorial é um escalar. Com relação ao divergente, podemos afirmar que o divergente da função vetorial
A
Somente a opção III está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção I está correta.
D
Somente a opção IV está correta.
Tabela de Derivada e Integral - Cálculo
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6Em muitas aplicações, precisamos calcular a derivada de uma função vetorial. O método é o mesmo que aquele utilizado para derivar funções reais, basta apenas analisar cada uma das componentes da função separadamente. Podemos afirmar que a derivada da função vetorial
A
Somente a opção I é correta.
B
Somente a opção IV é correta.
C
Somente a opção III é correta.
D
Somente a opção II é correta.
7Dada uma função escalar, o gradiente dessa função escalar é um campo vetorial cujas componentes são as derivadas do campo escalar. Podemos afirmar que o gradiente da função escalar de três variáveis
A
Somente a opção IV está correta.
B
Somente a opção II está correta.
C
Somente a opção III está correta.
D
Somente a opção I está correta.
8Um arame fino tem a forma de uma semicircunferência que está no primeiro e segundo quadrante o centro da semicircunferência está na origem e raio é igual a 2. Utilizando a integral de linha, temos que a massa desse arame, sabendo que a função densidade é
A
Somente a opção II está correta.
B
Somente a opção IV está correta.
C
Somente a opção III está correta.
D
Somente a opção I está correta.
9Uma das aplicações de derivada na física é a velocidade de uma partícula, porém outra aplicação muito utilizada de derivada é a reta tangente. Determine a reta tangente da função vetorial:
A
A reta tangente é (3 - t, 2 + t).
B
A reta tangente é (-1 + 3t, 1 + 2t).
C
A reta tangente é 2 + 5t.
D
A reta tangente é 5 + 2t.
10Para modelar matematicamente situações físicas, utilizamos o conceito de funções. Sabendo as propriedades da função, conseguimos encontrar respostas para o problema modelado. No entanto, para encontrar as respostas, é importante conhecer os vários tipos de funções e as suas propriedades. Com relação aos tipos de funções, podemos classificá-las dependendo do seu conjunto domínio e do seu conjunto imagem. Com relação às funções e seu domínio e imagem, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Função vetorial de uma variável.
II- Função vetorial de n variáveis ou campos vetoriais.
III- Função escalar ou função real de n variáveis.
IV- Função real de uma variável.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
III - II - IV - I.
B
II - IV - I - III. 
C
III - II - I - IV.
D
II - III - IV - I.