Modelagem matemática de sistemas mecânicos

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Modelagem matemática de sistemas mecânicos 
 
A lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a segunda lei de Newton. Aplicando esta lei a 
vários sistemas mecânicos podemos encontrar a função de transferência dos mesmos. 
Os sistemas mecânicos possuem três componentes lineares passivos. Dois deles, a mola e a massa, são 
elementos armazenadores de energia, e o outro, o amortecedor viscoso, dissipa energia. Os dois elementos 
armazenadores de energia são análogos aos dois elementos armazenadores de energia elétricos, o indutor e o 
capacitor. O dissipador de energia é análogo à resistência elétrica. Vamos examinar esses elementos 
mecânicos. A figura 4.1apresenta os blocos principais de um sistema mecânico, onde K, B e M são 
chamados de constante de mola, coeficiente de atrito viscoso e massa, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
Para as modelagens dos Sistemas Mecânicos temos um conjunto de hipóteses gerais listadas no quadro 
abaixo. 
 
 
 
 
Sistema Massa-Mola-amortecedor 
 
Para o sistema da figura 4.2, obter a função de transferência do mesmo, considerando fi como entrada e xo 
como saída. 
 
Figura 4.2 
 
Solução 
 
Diagrama de corpo livre do sistema está representado na figura 4.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3 
 
 
m fi 
x 
fs 
fB 
Aplicando a segunda lei de Newton no sistema, vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que representa a dinâmica do sistema. 
 
Aplicando a Transformada de Laplace (TL) na EDO com todas as condições iniciais nulas, vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 4.4 representa o diagrama de blocos do sistema mecânico proposto no exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema de segunda ordem generalizado 
 
Um sistema de segunda ordem generalizado possui uma função de transferência que pode ser representada 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
A função de transferência do sistema massa-mola-amortecedor pode ser comparada com a função de 
transferência generalizada descrita. Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos então fazer a comparação e encontrar os parâmetros do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo1 
Para o sistema massa-mola-amortecedor da figura 4.2, Ks = 40[N/m], B = 30[N.s/m], m =2 [Kg]. 
Determinar: 
a) A função de transferência do sistema; 
b) A frequência natural não amortecida do sistema; 
c) O fator de amortecimento do sistema. 
 
 
 
 
 
Solução 
a) A função de transferência do sistema da figura 4.2 é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 , logo vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A frequência natural não amortecida do sistema é dado por: 
 
 
 
 
 , logo: 
 
 
 
 
 
 
c) O Fator de amortecimento será: 
 
 
 
 
 
 
 , logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Associações de molas 
 Associação paralela 
 
 
 
 
 Associação série 
 
 
 
 
 
 
 
 
Associações de amortecedores 
 Associação paralela 
 
O mesmo raciocínio utilizado para as molas em paralelo, podemos aplicar na associação paralela de 
amortecedores, logo temos: 
 
 
 
 Associação série 
 
 
O mesmo raciocínio utilizado para as molas em série, podemos aplicar na associação série de 
amortecedores, logo temos: