Aula 17052021.pdf

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Técnicas de Integração
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interação com o aluno.
Objetivo da Aula
Após apresentação dos tópicos abordados, cada
aluno(a) deverá compreender as técnicas para
realizar a integração de uma função, conhecendo os
métodos da substituição e integração por partes.
Integrais
Dê a primitiva de f, nos casos:
1)() xfa
xxfb )()
²)() xxfc 
xxfd )()
3)() xxfe 
3 ²)() xxff 
4 5)() xxfg 
7 2
1
)()
x
xfh 
Integrais
Dê a primitiva de f, nos casos:
cxdxdxdxxf
xfa


 .1)(
1)()
c
x
xdx
xxfb


 2
)()
2
Integrais
  c
x
dxxxxfc
3
²²)()
3
c
x
c
x
dxx
xxfd


 3
.2
2
3
)()
32
3
2
1
Integrais
c
x
c
x
dxx
xxfxxfe


 4
.3
3
4
)()()
3 43
4
3
1
3
1
3
c
x
dxx
xxfxxff


 5
.3
)(²)()
3 5
3
2
3
2
3
Integrais
c
x
dxx
xxfxxfg


 9
.4
)()()
4 9
4
5
4
5
4 5
c
x
dxx
xxf
x
xfh





5
.7
)(
1
)()
7 5
7
2
7
2
7 2
Integrais
Calcule:
  dxxxa )57²()
  dxxx
b )8cos
²
1
()
 





 dx
x
xc
2
) 7 3
Integrais
Calcule:
cx
xx
dxxxa  52
7
3
)57²()
23
cxsenx
x
dxx
x
b  8
1
)8cos
²
1
()
cx
x
dx
x
xc 





 ln.210
.72
)
7 10
7 3
Aplicando a Integral Definida 
 
1
1
gfA
2. Calcule a área da região limitada pelos gráficos de f e g, onde 
f(x) = 3 e g(x) = x² - 2, no intervalo [-1, 1].
Aplicando a Integral Definida 
 
1
1
gfA
Resolução:
  dxxA  
1
1
2²3 dxxA  
1
1
)2²3(
 dxxA  
1
1
5²
Aplicando a Integral Definida 
Resolução:
 dxxA  
1
1
5²
















)1.(5
3
)1(
1.5
3
1
5
3
33
1
1
3
x
x
A






 5
3
1
5
3
1
A
3
28
A
3
230
3
2
105
3
1
5
3
1 
 A
Aplicando a Integral em Física 
 vs
3. Apresente a função horária de um movimento que possui a 
velocidade dada pela função sabendo que S(0) = 5.
  dttdtttsdttvts )1()1()()()( 3
1
3
ct
t
ts 
3
4
)(
3
4
1)( 3  ttv
cttts  3
4
.
4
3
)(
Aplicando a Integral Indefinida 
5)0( s
5 c
500.
4
3
)0( 3
4
 cs
5.
4
3
)(5.
4
3
)( 3 43
4
 tttsttts
5.
4
3
)( 3  tttts
Método da Substituição
dx
dx
du
du 
dxx
du
xdxduxuExemplo .
2
2²: 
Método da Substituição
²xu 
dxex x
²..2
xdxdu .2
Calcule: 
duedxex ux  
²..2
cedue uu  ce
x  ²
Método da Substituição
senxu 
dxxsenx cos.
xdxdu cos
Calcule: 
c
u
duu  2
²
cxsen  ².
2
1
  duudxxsenx .cos.
Método da Substituição
1² xu
dxxx 
52 )1.(
dxx
du
xdxdu .
2
2 
Calcule: 
c
u
c
u
duu  126
.
2
1
2
1 665
cx  6)1².(
12
1
  duu
du
udxxx 555
2
1
2
.)1².(
Método da Substituição
²1 xu 
dx
x
x
  ²)³1(
dxx
du
xdxdu .
2
2 
duu
u
du
u
du
dx
x
x



3
2
1
³2³
2
²)³1(
c
u
c
u




².4
1
)2(
.
2
1 2
c
x



²)²1.(4
1
Método da Substituição
2² xu
dxxx  2²
dxx
du
xdxdu .
2
2 
cuc
u
 2
2
3
³.
3
2
.
2
1
2
3
.
2
1 cuu  ..
3
1
duu
du
udxxx   2
1
.
2
1
2
.2²
cxx  )2²()2².(
3
1
Método da Integração por Partes
dxxfxGxGxFdxxgxF )().()().()().( 
 

)()()(
)()(')(
xGdxxgxg
xfxFxF
Método da Integração por Partes
dxxx ln.
xx
x
xGxxxg
x
xfxxF
..
3
2
2
3
)()(
1
)(ln)(
2
3
2
1


Método da Integração por Partes
dxxx ln. dx
x
xxxxx 
1
...
3
2
..
3
2
.ln
dxxxxx  3
2
ln...
3
2
xxxxx ..
3
2
.
3
2
ln...
3
2

xxxxx ..
9
4
ln...
3
2
 






3
2
ln..
3
2
xxx
Método da Integração por Partes
dxx ln
xxGxg
x
xfxxF


)(1)(
1
)(ln)(
Método da Integração por Partes
dxx ln dx
x
xxx 
1
..ln
 dxxx.ln )1.(ln.ln  xxxxx
Método da Integração por Partes
dxx ln )1.(ln  xx
Demonstração:
)1.(ln)(  xxxH
)()()(' xhxH
dx
D
xH 






 0
1
.)1.(ln1)(
x
xxxh xx ln11ln 
Tarefa
Calcule
dxxxa  
1
0
)53²()
dxxxb  
3
2
3 )74()
dxxsenc 
3
0
)()

Revisão / Fechamento da Aula 
Técnicas de Integração de algumas funções
Método da Substituição
Método da Integração por Partes
Prof. Roberto Lourenço
Conteúdo elaborado por:
Encerramento