Projeto final eletronica 3 - filtro sallen key

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FILTRO PASSA BAIXAS SALLEN-KEY PARA
REDUÇÃO DE RUÍDO DE MICROFONE
Caroline Lopes dos Santos
Graduação em Engenharia Elétrica
Disciplina de Dispositivos e Circuitos Eletrônicos III
Universidade Federal de Santa Maria
carolinelds@gmail.com
Viviane Anziliero Antunes
Graduação em Engenharia Elétrica
Disciplina de Dispositivos e Circuitos Eletrônicos III
Universidade Federal de Santa Maria
viviantunes09@gmail.com
Resumo — Neste trabalho foi desenvolvido um filtro passa-baixas
Butterworth do tipo Sallen-Key com o objetivo de reduzir o ruído
na captação da voz humana em microfones. Visando aumentar
sua eficiência, e também melhorar o compromisso entre
facilidade de construção e a sensibilidade do circuito, optou-se
por um filtro em dois estágios, com diferentes designs em cada
um. Dessa forma, o filtro resultante foi de quarta ordem, e após
simulações no software PSIM, verificou-se que o projeto do
mesmo foi bem sucedido.
Palavras-chave — Filtro, analógico, Sallen-Key, eletrônica.
I. INTRODUÇÃO
Microfones utilizados para a captação da voz humana estão
sujeitos a efeitos indesejáveis, como ruídos de alta frequência.
Isso pode trazer problemas na reprodução do som pelos
alto-falantes, como, por exemplo, quando ocorre o chamado
efeito de “microfonia”.
Esse efeito ocorre quando ruídos são captados pelo
microfone, amplificados ao longo do circuito, e reproduzido
pelas caixas de som. Se o microfone estiver muito perto dos
alto-falantes, acaba captando o próprio ruído que sai deles, que
por sua vez é amplificado novamente, sai de novo pelas caixas
de som e alimenta o microfone, criando um ciclo indesejável
de realimentação que resulta em ruídos de alta frequência
incômodos para a audição humana [1].
Para resolver esse problema, propõe-se a implementação
de um filtro do tipo passa-baixas, visando melhorar a
qualidade da captação da voz humana em microfones.
II. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO
A. Faixa de frequências da voz humana
Para produzir a voz, primeiro, o ar que está sendo expirado
deve passar pelas cordas vocais e vibrá-las. Enquanto ocorre a
vibração, várias estruturas (cavidades da boca, garganta e a
passagem nasal) entram em ressonância produzindo várias
ondas harmônicas e amplificando o som.
No homem, as pregas vocais são mais grossas e mais
elásticas e vibram em torno de 125 Hz. Na mulher, as pregas
são mais finas e tensas e vibram com maior frequência
(250Hz). Tais frequências citadas acima são as frequências
fundamentais da voz humana, porém ao se tratar do alcance
máximo de um profissional do canto a frequência pode
ultrapassar 1050 Hz, no caso de uma soprano. [2]
B. Filtros Butterworth
O filtro Butterworth é desenvolvido de modo a obter a
mais plana (não possuir ripple, ou ondulações) resposta em
frequência enquanto for matematicamente possível. Sendo
também o único filtro que mantém o mesmo formato linear de
decaimento para ordens mais elevadas (com diferentes
coeficientes de angulação) [3].
Na Figura 1 é possível observar o comportamento da curva
de ganho do Butterworth para um filtro passa-baixas de ordem
n de 1 a 5. Podemos observar que o decaimento é
proporcional à 20× dB/década, onde é a ordem do filtro.𝑛 𝑛
Fig.1. Diagrama de Bode do ganho do Filtro Butterworth
O projeto desses filtros dependem dos chamados
polinômios de Butterworth, que são utilizados como
denominadores das funções de transferência normalizadas dos
filtros. Os valores desses polinômios já estão tabelados na
literatura e, em particular, para o caso do filtro Butterworth de
4ª ordem, seu polinômio na forma fatorada é [4]:
(1)
B. Filtros com topologia Sallen-Key
Os filtros Butterworth do tipo Sallen-Key foram
desenvolvidos em 1954 e desde então têm sido amplamente
utilizados até hoje devido a sua simplicidade e eficiência [4].
Na Figura 2 temos um exemplo de filtro passa-baixas com
topologia Sallen-Key:
Fig. 2. Filtro passa-baixas Sallen-Key
Normalmente, dado um circuito, é um problema obter a
função de transferência de tensão. Mas os coeficientes da
função de transferência desejada podem ser determinados em
termos dos valores dos elementos do circuito. Para isso,
inicialmente são escritas as equações nodais desse circuito:
(2)
(3)
(4)
Onde . Resolvendo esse sistema paraµ = 1 + 𝑅𝑎/𝑅𝑏
encontrar (ou seja, a função de transferência), temos:𝐸2/𝐸1
(5)
Considerando a forma padrão para sistemas de 2ª ordem:
(6)
Podemos definir:
(7)
(8)
(9)
Dessa forma, sem impor restrições ao ganho , temos𝐺
como variáveis de projeto os valores de e .𝑅
1
, 𝑅
2
, 𝐶
1
, 𝐶
2
µ
Com base na escolha desses valores, o projeto pode ser
classificado em quatro tipos de designs [4]. A seguir, são
apresentados os dois designs de filtro utilizados nesse projeto,
com suas vantagens e desvantagens.
C. Design 1: elementos de valores iguais
C1 = C2 = 1 F (normalizados) (10)
R1 = R2 = R Ω (11)
Aplicando as simplificações acima nas equações 7 e 8,
obtemos as seguintes relações:
R=1/ωO (12)
µ= 3 - 1/Q (13)
Este design possui característica construtiva bastante
simples pela uniformidade dos componentes, porém ele possui
alta sensibilidade [4].
C. Design 2: capacitores iguais e resistores e iguais𝑅
𝑎
𝑅
𝑏
C1 = C2 = 1F (normalizados) (14)
Ra = Rb = R (15)
Aplicando as simplificações acima nas equações 7 e 8,
obtemos as seguintes relações:
R1 =Q/ωO (16)
R2 = 1/(ωOQ) (17)
Este design possui a vantagem dos resistores de
amplificação serem iguais e de fácil compatibilidade. O ganho
é fixo em 2, porém há uma desvantagem devido à relação
R1/R2 = Q², que gera valores de resistência bastante
discrepantes, mas, ao mesmo tempo, reduz a sensibilidade do
filtro [4].
III. PROJETO
Para fins de redução de ruídos de alta frequência em
microfones, definiu-se para o filtro uma frequência de corte de
1050 Hz, que é uma banda adequada para a voz humana.
Visando balancear o compromisso entre facilidade de
construção e a sensibilidade do filtro, optou-se por um filtro
Butterworth passa-baixas com dois estágios do tipo
Sallen-Key, sendo o primeiro estágio projetado com o design
1, e o segundo estágio com o design 2, e todos os capacitores
do circuito com valores de . Dessa forma, com dois0, 1 µ𝐹
estágios o filtro é classificado como sendo de quarta ordem, o
que também aumenta sua eficiência.
De acordo com o polinômio da Equação 1, para um filtro
Butterworth de 4ª ordem sabe-se que sua função de
transferência normalizada é dada por:
(18)
Considerando a primeira fração como e a segunda𝐻
1
(𝑠)
como (ou seja, as funções de transferência de cada𝐻
2
(𝑠)
estágio), podemos encontrar os valores de e dos𝑄
1
𝑄
2
estágios se considerarmos a Equação 6 normalizada (com
rad/s):ω
0
= 1
(19)
(20)
A. Primeiro estágio (normalizado)
Usando valores normalizados, as Equações 10 e 11 se
tornam:
(21)
(22)
Usando na Equação 13 o valor encontrado de ,𝑄
1
calculamos :µ
1
(23)
(24)
Visando minimizar os efeitos de tensão DC de offset,
escolhemos resistências idênticas entre os dois terminais do
amp-op e o terra:
(25)
Resolvendo o sistema dado pelas Equações 24 e 25, temos:
(26)
(27)
B. Segundo estágio (normalizado)
Usando valores normalizados e os mesmos índices do
estágio anterior, as Equações 14, 16 e 17 se tornam:
(28)
(29)
(30)
Novamente, para minimizar efeitos de tensão DC de offset,
escolhemos resistências idênticas entre os dois terminais do
amp-op e o terra:
(31)
E lembrando da Equação 15 que esses resistores são iguais,
resolvendo a Equação 31 temos:
(32)
C. Valores finais
Para desnormalizar o circuito, ou seja, utilizar uma
frequência de , inicialmente dividimosω
0
= 2π × 1050 𝐻𝑧
os valores dos capacitores (1 F) por :ω
0
(33)
Agora, para poder usar capacitores de ,0, 1 µ𝐹
multiplicamos todos os resistores pelo fator abaixo:𝑘
(34)
Abaixo na Tabela 1 temos os valores de todos os
componentes já desnormalizados e os respectivos valores
comerciais escolhidos para implementação prática:
Estágio Componente Desnormalizado Valor comercial
1 e 2 Capacitores 0, 1 µ𝐹 0, 1 µ𝐹
1
𝑅
1 1515,76 Ω 1,5k + 15 = 1515 Ω
𝑅
2 1515, 76 Ω 1,5k + 15 = 1515 Ω
𝑅
𝑎 5486, 91 Ω 5,1k +390 = 5490 Ω
𝑅
𝑏 6774, 33 Ω 6,2k + 300+ 270 = 6770 Ω
2
𝑅
1 820, 328 Ω 820 Ω
𝑅
2 2800, 75 Ω 2,7k+ 100 = 2800 Ω
𝑅
𝑎 7242, 10 Ω 6,8k + 430 +10 = 7240 Ω
𝑅
𝑏 7242, 10 Ω 6,8k + 430 +10 = 7240 Ω
Tab. 1. Valores calculados e implementados do circuito final
Portanto, considerando as Equações 9 e 18, o ganho
esperado desse filtro na região de passagem é:
(35)
III. SIMULAÇÃO
Após efetuarmos os cálculos e serem normalizados os
valores dos componentes, apresentamos o circuito final que foi
simulado no software PSIM, como visto na Figura 3:
Fig. 3. filtro passa-baixas Butterworth do tipo Sallen-Key
Para uma visualização mais clara do circuito, foram
simplificadas as associações de resistores em série mostrados
na Tabela 2, substituídos por seus valores de resistência
equivalentes.
Na Figura 4 temos o diagrama de Bode do ganho do filtro
em 2 estágios:
Fig. 4. Diagrama de Bode do circuito filtro passa-baixas simulado
O ganho na região de operação foi de 12,81 dB (medidor
X1) e a frequência de corte simulada foi 1,04 kHz (medidor
X2), que é quando o amp(Vo1)= -3 dB, conforme Figura 5.∆
Fig. 5. Ganho do filtro e frequência de corte medidos
Abaixo, o valor do ganho em dB passando para :𝑉
𝑜𝑢𝑡
/𝑉
𝑖𝑛
(36)
Abaixo, na Tabela 2, são apresentados os erros relativos
provenientes da normalização dos valores calculados dos
componentes para o uso de valores comerciais, e também o
erro relativo da frequência de corte e do ganho.
Estágio Componente Valor final Erro relativo aovalor teórico
1 e 2 Capacitores 0, 1 µ𝐹 0
1
𝑅
1 1515 Ω 0,0501%
𝑅
2 1515 Ω 0,0501%
𝑅
𝑎 5490 Ω 0,0563%
𝑅
𝑏 6770 Ω 0,0639%
2
𝑅
1 820 Ω 0,0399%
𝑅
2 2800 Ω 0,0267%
𝑅
𝑎 7240 Ω 0,0289%
𝑅
𝑏 7240 Ω 0,0289%
Ganho do filtro 4,416 1,198%
Frequência de corte 1040 Hz 0,95%
Tab. 2. Erro relativo dos componentes do circuito.
O erro da frequência foi calculado com relação a
frequência de projeto de 1050 Hz, e o erro de ganho foi
calculado com relação ao ganho da Equação 35 (4,46926).
II. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A topologia de Sallen-Key utilizada neste projeto é capaz
de produzir uma resposta passa-baixa de quarta ordem com
ótima seletividade, além de possuir valores de sensibilidade
balanceados devido à escolha de dois estágios com designs e
características de sensibilidade diferentes.
Para a aplicação a qual foi objeto deste trabalho, a
filtragem de ruídos em microfones, vemos que tal topologia de
filtro foi satisfatória, com um baixo erro relativo na frequência
de corte definida para o projeto, menor que 1%.
REFERÊNCIAS
[1] HIGUTI, Ricardo Tokio; KITANO, Cláudio. Apostila de Sinais e
Sistemas. Departamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de
Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual de São Paulo. 2003.
Disponível em: <www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenharia
eletrica/optoeletronica/sinais_e_sistemas.pdf>. Acesso em 20 ago 2021.
[2] CAMARGO, Thatiana Francisco de; BARBOSA, Daniela Aparecida;
TELES, Lídia Cristina da Silva. Características da fonetografia em
coristas de diferentes classificações vocais. Revista da Sociedade
Brasileira de Fonoaudiologia, v. 12, p. 10-17, 2007.
[3] Butterworth filter. In: Wikipedia: the free encyclopedia. Disponível em:
https://en.wikipedia.org/wiki/Butterworth _filter>. Acesso em: 20 ago
2021.
[4] SU, Kendall L. Analog filters. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
2ª ed. 2003.
[5] JUNIOR, Sabino da Silva. Filtros digitais aplicados para separação de
sinais de áudio. In: Anais do 15º Congresso Nacional de Iniciação
Científica. Ribeirão Preto, 2013.