Matemática B

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Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 1 
 UNIDADE 1 
 
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
 
POTENCIAÇÃO 
 
Definição 
 
 Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. 
 
 Sendo a R e a 0 e m Z. Tem-se que: 
 
 a
m
 = a. a. a. a. a..... a. 
 m fatores 
 
 Casos Particulares 
 
 a
0
 = 1 para a 0 
 a
1
 = a 
 a
-n
 = 
1
a n
 
 
Propriedades 
 
 Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, 
 tem-se: 
 
 am.an = am + n 
 a
a
a
m
n
m n
 
 (am)n = am.n 
 (a.b)n = an.bn 
 a
b
a
b
n n
n
 
 
Potência de base 10 
 
 Sabe-se que: 10
0
 = 1 
 10
1
 = 10 
 10
2
 = 100 
 10
3
 = 1000 
 
 Então 10
n
 = 100...........00 
 n zeros 
 
 Observe ainda que: 10-1 = 
10
1
= 0,1 
 10
-2
 = 
210
1
= 0,01 
 10
-3
 = 
310
1
= 0,001 
 
 Então 10
–n
 = 0,000.............001 
 n casas decimais 
 
 
RADICIAÇÃO 
 
Definição 
 
 b é a raiz n-ésima de a, se b
n
 = a. 
 
Representação 
 
 
n a
= b b
n
 = a 
 
Nomenclatura 
 
 Em 
n a
= b, temos: 
 n é o índice 
 a é o radicando 
 b é a raiz 
 
Condição de existência 
 
 Em 
n a
, se n for par, então é necessário que a 
 seja maior ou igual a zero. 
 Se n for ímpar então 
n a
 sempre existe. 
 
Propriedades 
 
n.m a
n m a
n.p m.p
a
n m
a
n m
a
mn a
n
b
a
n b
n a
n a.bn b.n a
 
 nmn m aa 
 
Racionalização de denominadores 
 
Dada uma fração com denominador contendo radical, 
racionalizar o denominador é um processo no qual se 
obtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto, 
com o radical no denominador. 
 
 1º CASO: O denominador é do tipo 
n ma
 
 Neste caso, multiplica-se numerador e denominador 
 pelo fator: 
n mna
. 
 2º CASO: O denominador é do tipo 
ba
 
 Neste caso, multiplica-se numerador e denominador 
 Pelo fator: 
ba
 
 
 
 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 2 
Exercícios de Sala  
 
1. Calcule: 
 
a) 2
4 
b)
 – 24 c) (– 2)4 
d) 1
7
 e) 0
3 
f) 214
0
 
g) 3
-2
 h) 4
3
2
 
 
2. Transforme cada expressão em uma única potência de 
base 3. 
 a) 3
7
 . 3
-5
 . 3
6
 = b) 
3
3
5
3.
2
3 = 
 
 c) (3
4
)
2
 = d) 243 = 
 
3. Calcule: 
 
 a) 
25,0
 b) 
01,0
 
 c) 
3 125
 d) 
3 64
 
 e) 2
4 9
 f) 
242223250
 
 
4. Racionalize: 
 
 a) 
2
3
 b) 
5
5
 c) 
5 2
3
 d) 
35
2
 
 
Tarefa Mínima 
 
1. Determine o valor das expressões: 
 
a) 3
4 
b) – 34 c) (– 3)4 
d) 1
201
 e) 0
80
 f) 500
0
 
g) 4
-2
 h) 3
2
5 i) 2
4
 + 1
201
 + 0
3
 + 4
0
 
 
 j) 
4
2
3
)
2
(2
4
2)(
 k) 12
2
3
3
2 
 
2. Transforme cada expressão em uma única potência de 
base 2. 
a) 25.23.27 b) 
4
2.)2(
2323 
3. Sendo A = 2100, obtenha: 
 
a) sucessor de A b) o dobro de A 
c) quádruplo de A d) quadrado de A 
e) metade de A f) raiz quadrada de A 
 
 
4. Usando a definição, calcule o valor de cada uma das 
raízes: 
 
a) 
4 625
 b) 
5 32
 c) 
5 0
 
d) 
3 1
 e)
16
81
 f) 
3 125,0
 
5. Racionalize: 
 a) 
2
5
 b) 
3
6
 c) 
3 5
2
 d) 
23
5 
 
Tarefa Complementar 
 
6. O valor da expressão 
01,0
)1,0.(100 3
 é equivalente a: 
 
a) 10
2
 b) 10
3 
c) 10
4 
d) 10
5 
 e) 10 
 
7. Assinale a soma dos números associados às proposições 
corretas: 
 
 01. O número 573 é equivalente a 5,73. 10
2
 
 02. O valor da expressão 5.10
8
. 4.10
-2
 é 2.10
7
 
 04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n + (– 1)2n + 1 é 
 zero. 
 08. A metade de 4
8
 + 8
4
 é 17.2
11
 
 
8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064? 
 
 
2 2 3 2 3
1 1 2 1 8
a) b) c) d) e) 
80 8 5 800 10
 
 
9. (FGV-SP) Qual o valor da expressão 
 ,
.....
.....
1123
214212
bababa
bababa
quando a = 10
3
 e b = 10
2 
 
 
 a) 10
6
 b) 10
2
 c) 10
3 
 d) 10
9
 e) 10
7
 
 
10. (FGV-SP) Simplificando a 
expressão
12
124
22
222
nn
nnn temos: 
 
 
 
3
34
d 
3
82
c 
4
87
b 
4
3
a ))))
 
 
11. (Cesgranrio) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então 
(abc)
12
 vale: 
 
a) 99
12
 b) 99
21/2
 c) 99
28
 
d) 99
88
 e) 99
99
 
 
 
 
 
 
12. Determine a soma dos números associados às proposições 
corretas: 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 3 
 
 01. A expressão 
5
802045
 é 
 equivalente a 
153
 
 02. O valor de
42222
é 2 
 04. O valor de 2131 168 é 4 
 08. Racionalizando 
2
4
obtém-se 2
2
 
 16. A expressão 
3
5
5
3
 é igual a 
15
158 
 
13. Calculando 
35
1213
2:2
33 , acha-se: 
 
a) 32 b) 34 c) 36 
d) 38 e) n.d.a. 
 
14. (UEL-PR) A expressão 
1
22
1
22
1
é 
equivalente a: 
 
a) – 1 b) 
2
 – 2 c) 
2
+ 2 
d) 
2
 – 1 e) 
2
 + 1 
 
 
15. (UEL-PR) Seja o número real 
x = 
15
522203500
. Escrevendo x na forma x = a 
+ b
c
, tem-se que a + b + c é igual a: 
 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
 
 
 UNIDADE 2 
 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
Considere o triângulo retângulo ABC 
 
Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos: 
 ___
AB e AC
____ são os catetos 
 ___
BC
é a hipotenusa 
 
 
C e 

B
 são os ângulos agudos 
 
Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos 
agudos são complementares, ou seja, 
C 

B
= 90º 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: 
 
 SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre 
o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. 
 CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre 
o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. 
 TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente 
entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. 
Sendo assim, temos que: 
 
 sen = 
a
b
 cos = 
a
c
 tg = 
c
b
 
 
Observação: 
 
Se + = 90° tem-se que sen = cos 
 
Tabela de arcos notáveis 
 
Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas 
alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos 
retângulos congruentes. 
 
Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal e 
obtemos dois triângulos retângulos isósceles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em resumo, temos: 
 
Matemática B Inclusãopara a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 4 
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. (FUVEST) Obter o valor de x na figura: 
2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é: 
 
 a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a. 
 
3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de m 
rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na 
outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2 
= e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distância 
entre as margens (em metros) é: 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x 
 
 a) 
 
30°
 X
12
 
 
 
 b) 
 
60°
X
6
 
 
 
 
 
 
c) 
 
45°
x
5
 
 
2. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada a 
Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do 
mundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, um 
ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima 
da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de 
comprimento. A que distância se encontra o ponto mais 
alto da torre em relação ao solo? 
 (dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4) 
 
a) 55 metros b) 15 metros 
c) 45 metros d) 42 metros 
e) 51 metros 
 
3. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir 
uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o 
topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 
4
3
m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, 
em graus, que a rampa formará com o solo. 
 
4. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y. 
 
Tarefa Complementar  
 
5. Com base na figura abaixo é correto afirmar: 
 01. h = 
2
m 
 02. h = 3 m 
 04. a = (1 + 
3
) m 
 08. O triângulo ACD é isósceles 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 5 
 16. O lado ____
AC
 mede 6m 
 
6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e 
paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado 
na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com 
sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica 
posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. 
Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20 
= 0,93; tg 20º = 0,36) 
 
7. Determine o valor de x e y na figura abaixo: 
 
8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa 
o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para 
sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a: 
 
a) b cos b) a cos c) a sen 
d) b tg e) b sen 
 
9. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B 
localiza-se a leste de A, a distância ___
AB
= 5 km. Neste 
momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e 
leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes 
dados, assinale o que for 
 correto. 
 01. ___
AC
= 10km 
 02. ___AD = 2,5 km 
 04. ____
BC
 = 5
3
km 
 08. O ângulo 
DAB ˆ
 mede 60° 
 16. A velocidade média do barco é de 15km/h 
 
10. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x 
 
30° 60°
A
B
CD 
 
 AD = x DC= x - 38 BD = y 
 
 
 
 
 
 UNIDADE 3 
 
TEOREMA DOS CO-SENOS 
 
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado 
é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois 
lados, menos duas vezes o produto das medidas destes 
lados pelo co-seno do ângulo formado por eles. 
 
 
 
TEOREMA DOS SENOS 
 
Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos 
senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o 
diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. 
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Determine o valor de x na figura abaixo: 
 
2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4
2
 e o 
 ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o 
 raio da circunferência que circunscreve o triângulo 
 
3. Determine o valor de x na figura abaixo 
 
4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo 
abaixo, é: 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 6 
 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Determine o valor de x na figura abaixo: 
 
 
2. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75
2
cm. A 
medida, em cm, do lado AB será: 
 
 
A
B C
45° 30°
 
 
3. O triângulo ABC está inscrito na circunferência de 
centro O e raio R. Dado que AC = 2
3
cm, determine a 
soma dos números associados às proposições verdadeiras: 
 
75°
60°
O
A
B C
 
 
 01. O triângulo ABC é equilátero 
 02. o raio da circunferência vale 2cm 
 04. ___AB = 2 2 cm 
 08. O comprimento da circunferência é 4 cm 
 
 
4. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um 
paralelogramo medem 3
2
cm e 5cm e formam um 
ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em 
centímetros, mede: 
 
a) 4 b) 
11
 c) 3 
d) 
13
 e) 4
2
 
5. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e 
6. O co-seno do maior ângulo de T é: 
 
a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 
d) 2/3 e) 1/8 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC 
medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o 
ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale: 
 
a) ½ b) 2/3 c) 3/4 
d) 4/5 e) 5/6 
 
7. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um 
triângulo ABC; seu lado ___
BC
 é igual ao raio da 
circunferência. O ângulo B
Aˆ
C mede: 
 
a) 15° b) 30° 
c) 36° d) 45° 
e) 60° 
 
8. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa 
sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, 
quando o navio está em A, observa o farol L e mede o 
ângulo L
Aˆ
C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica 
o ângulo L
Bˆ
C = 75°. Quantas milhas separam o farol do 
ponto B? 
 
a) 2
2
 b) 
3
 
c) 2
3
 d) 3
2
 
e) 4
2
 
 
 
9. Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC = cm. 
Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC. 
 
10. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD = 
3cm, AB = 2cm, A
Dˆ
C = 60° e A
Bˆ
C = 90°. 
 
 A B
D
C
 
 
 O perímetro do quadrilátero, em cm, é: 
 
a) 11 b) 12 c) 13 
d) 14 e) 15 
 
 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 7 
 UNIDADE 4 e 5 
 
INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA 
TRIGONOMÉTRICA 
 
ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Arco de uma circunferência é cada uma das partes que 
ficam divididas uma circunferência por dois quaisquer de 
seus pontos. 
 
 
 
A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que 
possui vértice no centro da circunferência). 
 
Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano. 
 
 Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo 
comprimento é igual a 
1
360
do comprimento da 
circunferência. 
Logo, a circunferência tem 360º. 
 Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: 
 
 1º = 60' 1'= 60'' 
 
 Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao 
raio da circunferência onde está contido. 
 Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos. 
 
Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e 
radianos. 
 
 360º 2 rad 
Portanto: 180º rad 
 
 
 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece 
um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo 
trigonométrico.Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes 
denominadas quadrantes. 
 
 
ORIENTAÇÃO 
Negativo Horário
Positivo Horário Anti
 
 
 
ARCOS CÔNGRUOS 
 
Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre 
seus valores é um múltiplo de 360º. 
 
Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110.......... 
 
Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e 
diferem apenas no número de voltas. 
 
A expressão x = 30º + 360º . k, com k Z, é denominada 
expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira 
determinação positiva. 
 
A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por: 
 
 + k . 360º, com k Z. 
 
 Se um arco mede radianos, a expressão geral dos 
arcos côngruos a ele é dada por: 
 
 + k . 2 , com k Z. 
 
SENO e CO-SENO DE UM ARCO 
 
DEFINIÇÃO 
 
Considere o arco que possui extremidades na origem do 
ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o 
ângulo central . 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 8 
 
Denomina-se sen a projeção do raio OM, pela 
extremidade M do arco sobre o eixo y. 
Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eixo x. 
 
 
2. Sinais 
 
 
 
TABELA 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: – 1 sen 1 e – 1 cos 1 
 
 
OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é 
possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos 
do 2º, 3º e 4º quadrantes. 
 
Equações trigonométricas num intervalo dado: 
 
Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as 
funções Trigonométricas em seus membros. 
São exemplos de equações trigonométricas: 
 
1) sen x = 1 
 
 
2) 2cos
2
 x + 3cos x - 2 = 0 
 
Não é possível estabelecer um método para resolver todas 
as equações trigonométricas, pois, existe uma infinidade 
delas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos: 
 
 sen x = sen a 
x a k
x a k
2
2
 (congruos)
 (suplementares)
 
 
 
 
 
 cos x = cos a 
x a k
a k
2
2
 (congruos)
x (suplementares)
 
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Expresse em radianos os seguintes arcos: 
 
a) 300º b) 60º c) 12º 
 
 
2. Um arco de 200° equivale em radianos a: 
 
 a) 
3
2
 b) 
2
5
 c) 4 d) 
9
10
 e) 6 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 9 
3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a 
expressão geral dos arcos côngruos a: 
 
 a) 930º b) 
23
6
rad 
 
4. Determine o valor de: 
 
a) sen 150° 
b) cos 150° 
c) sen 210° 
d) cos 210° 
e) sen 330° 
f) cos 330° 
 
5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5 
admite solução. 
 
a) - 1 m 1 
b) - 2 m 5 
c) 2 m 3 
d) 2 < m < 3 
e) 1 < m < 2 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Obter a medida em graus dos seguintes arcos: 
 
 a) 
3
2
 
 
 b) 
6
 
 
 
2. (UFMG) Transformando 7º30' em radianos, teremos: 
 
a) /24 
b) /25 
c) /30 
d) 3 /25 
e) 5 /32 
 
 
3. Determine o valor da expressão 
 


180cos0sen
270sen.180cos0cos.90sen
22
 
 
4. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do: 
 
 a) 1º quadrante 
 b) 2º quadrante 
 c) 3º quadrante 
 d) 4º quadrante 
 e) n.d.a. 
 
5. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para: 
 
a) 2 m 3 
b) 1 m 4 
c) -1 m 1 
d) 2 < m < 3 
e) 0 m 1 
 
6. Resolver, no intervalo 0 x < 2 , as seguintes 
 equações: 
 
a) sen x = 1 
b) cos x = 0 
c) sen x = 
2
1
 
d) cos x = 
2
2
 
 
7. Sabendo que 0 x < 2 , o conjunto solução da 
 equação: sen 
2
 x 3sen x 4 = 0 é: 
 
 a) {90º} 
 b) {-90º} 
 c) {270º} 
 d) {180º} 
 e) {30º} 
 
Tarefa Complementar 
 
8. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é: 
 
a) 100° b) 140º c) 40º 
d) 80º e) n.d.a. 
 
9. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco 
 de 1000º? 
 
a) 270º b) 280º c) 290º 
d) 300º e) 310º 
 
10. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, o 
menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é: 
 
a) 135º b) 140º c) 145º 
d) 150º e) n.d.a. 
 
11. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteiros 
 de um relógio, às 23h45min, vale: 
 
a) 189º30' b) 277º30' c) 270º 
d) 254º45' e) 277º50' 
 
12. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumir 
quando 
y
37 2senx
3
, é: 
 
13. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação 
2 sen x = 1 é: 
 
a) /6 b) /4 c) /3 
d) /2 e) n.d.a. 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 10 
14. (UM-SP) O menor valor positivo de x para o qual 
9
- cos x
 = 
1
3
 é: 
 
2
6 4 3 2 3
a) b) c) d) e) 
 
 
15. Determinar o número de soluções da equação 
2sen x cos x = sen x no intervalo 0 x < 2 . 
 
 UNIDADE 6 
 
RELAÇÕES FUNDAMENTAL DA 
TRIGONOMETRIA 
 
 sen2 + cos2 = 1 (Relação Fundamental) 
 
A relação acima também vale para arcos com 
extremidades fora do primeiro quadrante. 
 
Exemplos: sen
2
30° + cos
2
30° = 1 
 sen
2
130° + cos
2
130° = 1 
 
Convém lembrar que se + = 90°, sen = cos . 
Logo, vale também relações do tipo: 
 
sen
2
 50° + sen
2 
40° = 1 
sen
 2
10° + sen
2
 80° = 1 
 
 
TANGENTE DE UM ARCO 
 
DEFINIÇÃO 
 
Associa-se a circunferência trigonométrica mais um eixo, 
a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de 
coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM 
ao segmento 
PQ
 determinado sobre o eixo das tangentes. 
 
 
 
SINAIS 
 
 
 
 
 
TABELA 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
 tg x = tg a 
x a k2
 
 
Exercícios de Sala 
 
1. Sabendo que sen x = 
3
2
 e que 
x
2
, calcule 
 cos x: 
 
2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x = 
2
a 1
 são verdadeiras para todo x real, se e somente 
se: 
 
 a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1 
 c) a = 5 ou a = 1 d) a = 1 
 e) n.d.a. 
 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 11 
3. Resolver no intervalo 0 x < 2 , a equação 
2cos
2
x = – 3sen x 
 
4. Determina o valor de: 
 
 a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330° 
 
5. Resolva no intervalo 0 x < 2 as seguintes equações: 
a) tg x = 
3
3
 b) tg
2
x – 1 = 0 
 
Tarefa Mínima 
 
1. No intervalo 
2
2
3
x
 se sen x = 
3
1
, calcule 
cos x. 
 
2. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 
0
2
x
 na 
equação: 1 cos
2
x + sen x = 0 é: 
 
 
3. O valor de tg 315° + tg 225° é 
 
4. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x | 
 
5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0 x < 2 
 
a) tg x = 
3
 
 
b) tg2x + tg x = 0 
 
Tarefa Complementar 
 
6. Determine m de modo que se obtenham 
simultaneamente, sen x = m e cos x = 
m33
 
 
 
7. No intervalo 0 x < 2 , determine o número de 
soluções para a equação 2cos
2
x = 5 – 5sen x. 
 
 
8. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x – 
tg x + 2cos 3x para x = 
4
3
é: 
 
9. (PUC-RS) O valor numérico de 
x
x
tg
x
cos34
3
2
2
sen para x = 
3
 é: 
 
a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0 
 
 
10. No intervalo 0 x < 2 , a equação 
3
tg
2
x + tg x = 0 
possui quantas soluções? 
 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
 UNIDADE 7 
 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental) 
 
As demais Relações Trigonométricas com as condições de 
existência obedecidas são: 
 
tg x = 
sen x
cos x
 cotg x = 
1
tg x
 
 
 
sec x = 
1
cos x
 cossec x = 
x sen
1
 
 
 
A partir da relação sen
2
 x + cos
2
 x = 1 podemos 
estabelecer duas relações derivadas. 
 
Dividindo a Relação Fundamental por sen
2
 x temos: 
 
 1 + cotg
2
 x = cossec
2
 x 
 
E dividindo a Relação Fundamental por cos
2
 x temos: 
 
 tg
2
 x + 1 = sec
2
 x 
 
Sinais das Funções Trigonométricas 
 
 1°Q 2°Q 3°Q 4°Q 
seno e cossecante + + 
cosseno e secante + + 
tangente e cotangente + + 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Determine o valor de: 
 
a) cossec 30° b) sec 30° 
 
c) cotg 30° d) cossec 210° 
 
e) sec 315° f) cotg 300° 
 
2. Sendo sen = 
5
4
 e 
2
2
3
, calcular: 
 
a) cos b) tg c) cotg 
 
d) sec e) cosec 
 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 12 
Tarefa Mínima  
 
1. Determine o valor de: 
 
a) sec 60
o 
b)
 
cossec 150
o 
c) cotg 315
o
 
 
2. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com x 4º quadrante, 
então tg x é: 
 
 a) 3/4 b) 1/2 
 c) 4/5 d) 3/4 
 e) 4/5 
3. ( UFSC ) Dados sen x =
3
5
 e 
2
x
, determine 
o valor de: 32 tg x + 1 
 
4. ( FGV-SP ) Simplificando-se a expressão 
sena tga coseca
cosa cotga seca
, obtém-se: 
 
 a) 0 b) sec
2
a 
 c) sen
2
a d) 1 
 e) tg
2
a 
 
Tarefa Complementar  
 
5. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro 
quadrante, então o valor da expressão 9.(sec
2
 x + tg
2
 x) é: 
 
 
6. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão: 
sen30 cos120 cosec150 cotg330
sec300 tg60 cotg225
   
  
 
 
7. (UFCE) Para todo x 1º quadrante, a expressão 
(sec x - tg x)(sec x + tg x) sen
2
x é igual a: 
 
 a) cos
2
x b) 1 + sen
2
x 
 c) cos x - sen x d) sec x + cos x 
 e) n.d.a. 
 
8. Determine a soma dos números associados à(s) 
proposição(ões) correta(s). 
 
 01. A medida em radianos de um arco de 225º é 
 
6
11π
rad. 
 02. A menor determinação positiva de um arco de 
 1000° é 280°. 
 04. Os valores de m, de modo que a expressão 
 sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3]. 
 08. sen x > cos x para 
44
x
. 
 16. Se tg x = 
4
3
e x 
2
 3 
, então o valor de 
 sen x – cos x é igual a 
5
1
. 
 32. Se sen x 0, então cosec x 0. 
 64. A solução da equação 2sen
2
x + 3sen x = 2 para 
 0 x 2 é x = 
6
 
ou x = 
6
 5 
. 
 
9. (UFSC) Dado sen x = 
3
5
 e x 
0
2
, calcule o 
valor numérico da expressão: 
sec x cotgx cosecx tgx
6 senx cosec x
2
2
1 
 
10. (FATEC) Se x e y são números reais tais que 
y = 
xxtgx
xtgee xx
sec.sec 2
4 , então: 
 
a) y = e
x 
b) 
 
y = e
x
(1 + tg x) 
c) y = 
x
ex
cos
 d) y = 
x
ex
sec
 
e) n.d.a. 
 
 
 UNIDADES 8 e 9 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DO PONTO 
 
O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos em 
funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares 
entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo 
das abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas. 
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões 
denominadas quadrantes numerados no sentido anti-
horário. 
 
 
A cada ponto do plano cartesiano está associado um par 
ordenado (x, y). 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 13 
Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde 
o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número 
real yp é chamado ordenada do ponto. 
 
OBSERVAÇÕES 
 
 Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua 
ordenada é nula. 
 P (xp, 0) 
 Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua 
abscissa é nula. 
 P (0, yp) 
 Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, então suas coordenadas são iguais 
 xp = yp 
 Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes 
pares, então suas coordenadas são simétricas. 
 xp = - yp 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano 
cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em 
função de suas coordenadas. Observe a figura abaixo: 
 
 
 O triângulo ABC é retângulo em C, então: 
 
 
AB AC BC2 2 2
 
 
Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois 
pontos: 
 
 
d x x y yAB B A B A
2 2
 
 
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO 
 
Considere um segmento AB de extremidades A(xA, yA) e 
B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio 
M(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre as 
coordenadas de A e B. 
 
Observe a figura: 
 
 
Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo, 
no eixo x tem-se: 
xM xA = xB xM 
x
x x
M
A B
2
 
no eixo y tem-se: 
yM yA = yB yM 
y
y y
M
A B
2
 
 
Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão as 
seguintes coordenadas: 
 
M
x x y yA B A B
2 2
 
 
ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO AS 
COORDENADAS DO VÉRTICE 
 
 Considere o triângulo abaixo: 
 
y
x
yC
xA
B
yA
xB
A
yB
xC
C
 
Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e C 
podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por: 
 
 
 A = 
1
1
1
.
2
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 O determinante x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
 foi tomado em módulo, 
pois a área é indicada por um número positivo. 
 
 Se o determinante x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
 for nulo, dizemos 
que os pontos estão alinhados. 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine: 
 
 a) distância entre A e B 
 
 b) Ponto Médio do segmento AB 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 14 
2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é eqüidistante dos pontos 
A(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P. 
 
3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3); 
C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triângulo 
ABC é: 
 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 c) 7 
 
4. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de 
um triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo. 
 
 Tarefa Mínima  
 
1. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa: 
 
 a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y. 
 b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x. 
 c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos 
 quadrantes ímpares. 
 d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes 
 pares. 
 e) o ponto (
3
+ 1, 
3
+ 1) pertence à bissetriz dosquadrantes pares. 
 
2. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) e 
N(-1,7) do plano x0y vale: 
 
3. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7) 
é 10. O valor de y é: 
 
 a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 
 d) -1 ou 10 e) 2 ou 12 
 
4. ( Cescea-SP ) O ponto do eixo das abscissas, 
eqüidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é: 
 
 a) A(2,0) b) B(5,0) c) C(3,0) 
 d) D(0,2) e) E(4,0) 
 
5. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4, 
7) e C(2, 1) 
 
Tarefa Complementar  
 
6. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2), 
determine x sabendo que o ponto C é eqüidistante dos 
pontos A e B. 
 
 
7. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos 
(1,3), (-2,-1) e (1, -2) é: 
 
 a) eqüilátero b) escaleno 
 c) isósceles d) retângulo 
 e) n.d.a. 
 
8. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em 
módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo em 
B é: 
 
9. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos 
médios dos lados de um triângulo, quais são os seus 
vértices? 
 
 a) (-1,2), (5,0), (7,4) 
 b) (2,2), (2,0), (4,4) 
 c) (1,1), (3,1), (5,5) 
 d) (3,1), (1,1), (3,5) 
 
10. (UCP-RJ) A distância da origem do sistema 
cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos 
(-2,-7) e (-4,1) é: 
 
 a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3
2
 
 
11. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seus 
vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser: 
 
 a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5 
 
12. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são: 
A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em 
unidades de área, é: 
 
 
 UNIDADE 10 
 
ESTUDO DA RETA 
 
Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma 
equação. Com tal equação podemos determinar se um 
ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação 
merecem destaque: 
 A Equação Geral 
 A Equação Reduzida 
 
EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
 
A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de 
alinhamento de 3 pontos. 
Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y). 
 
A, B e P estão alinhados se e só se: x y
x y
x y
A A
B B
1
1
1
0
 
Desenvolvendo 
0
1
1
1
BB
AA
yx
yx
yx
 temos: 
 
x . yA + xA . yB + y . xB yA . xB x . yB y . xA = 0 
 
(yA yB) x + (xB xA) y + xAyB xByA = 0 
 a b c 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 15 
 
Logo: ax + by + c = 0 equação geral da reta. 
 
 
2. Equação Reduzida da Reta 
 
Pode-se obter a equação reduzida da reta se isolando na 
equação geral y. 
Veja: ax + by + c = 0 
 by = ax c 
 
y
a
b
c
b
 substituindo 
a
b
por m e 
c
b
 por n temos: 
 
 y = mx + n Equação Reduzida da Reta 
 
No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angular 
da reta, e n o coeficiente linear da reta. 
 
3. Coeficiente Angular e Linear da 
 Reta 
 
Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m é 
o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da 
reta. 
Vejamos, agora, o significado geométrico deles. 
 
COEFICIENTE LINEAR 
 
O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta 
o eixo y. 
 
COEFICIENTE ANGULAR 
 
Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do 
ângulo , onde indica a inclinação da reta em relação ao 
eixo x. 
 
 m = tg ou 
A
x
B
x
A
y
B
y
m
 
 
 
 
 
CASOS PARTICULARES 
 
 Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo é igual a 
0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0. 
 
 
 
 Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo é igual a 
90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90º 
não é definido. 
 
 
4. Equação do Feixe de Retas 
 
Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado 
um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para 
isso, usa-se a relação: y yo = m(x xo) 
 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e 
B(4, 9), determine: 
 
a) equação geral 
b) equação reduzida 
c) coeficiente angular e linear da reta 
 
2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo: 
 
a) r: 2x + 3y + 1 = 0 
 
 b) 
 
c) 
 
3. Determine a equação da reta representada pela figura 
abaixo: 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 16 
 
Tarefa Mínima  
 
1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e 
B(2, - 3), determine: 
 
a) equação geral 
b) equação reduzida 
c) coeficiente angular e linear da reta 
 
2. Considere a reta r indicada pela figura abaixo 
 
 
 
Assinale a soma dos números associados às 
proposições corretas: 
 
 01. A equação da reta r é y = x – 1 
 02. o coeficiente linear da reta r é – 1 
 04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é 
 45
o 
 08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3) 
 16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de 
 coordenadas (1,0) 
 
3. Determine a equação da reta r indicada abaixo 
 
 
 
4. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à 
reta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é: 
 
 a) 3 b) 3,25 c) 2
13
 
 d) 2 e) 9 
 
5. (Fac. Moema-SP) O coeficiente linear e angular da 
reta 2x 3y + 1 = 0 são, respectivamente: 
 
 a) 2 e 3 b) 2/3 e 1 
 c) 2/3 e 1/3 d) 1/3 e 2/3 
 e) n.d.a. 
Tarefa Complementar  
 
6. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem 
coeficiente angular 3. 
 
7. Considere as retas r e s indicadas abaixo: 
 
 
 
 Determine a soma dos números associados às 
 proposições corretas: 
 
 01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0 
 02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0 
 04. o ponto de intersecção das retas r e s possui 
 coordenadas (2, 1) 
 08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3) 
 
8. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0, 
e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo 
ponto P(a,b). O valor de a + b é: 
 
 
9. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5, 
5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0. 
 
 
10. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(1, -1), 
B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um 
quadrado. É correto afirmar que: 
 
 01. a origen do sistema de coordenadas está no interior 
 do quadrado. 
 02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente 
 angular 1/2 
 04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a 
 diagonal BD do quadrado. 
 08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto 
 (0, -4) 
 16. o centro do quadrado é o ponto (1,3) 
 
 UNIDADE 11 
 
ESTUDO DA RETA 
 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS 
 
No plano cartesiano duas retas r e s podem ser: 
 Concorrentes 
 Paralelas 
 Coincidentes 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 17 
 Considere as retas r e s de equações: 
 
 r = m1x + n1 e s = m2x + n2 
 
 Assim, podemos ter as seguintes situações: 
 
 PARALELAS DISTINTAS: 
 m1 = m2 
 
 PARALELAS COINCIDENTES:m1 = m2 e n1 = n2 
 
 CONCORRENTES 
 m1 m2 
 
 CONCORRENTES E PERPENDICULARES: 
 m1 . m2 = 1 
 
DISTÂNCIA DE PONTO À RETA 
 
Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c = 
0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela 
expressão: 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta 
 r de equação 5x + 2y 6 = 0. 
 
Resolução: 
4
5
20
34
63.24.5
22
ddd
 
 
Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades. 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Considere a reta r indicada pela figura abaixo: 
 
 
 
Determinar: 
 
 a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é 
 paralela à reta r. 
 b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é 
 perpendicular à reta r. 
 
2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r de 
equação y = 2x + 5. 
 
3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky 
-5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s) 
proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
 
 01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto 
 (1, -2) é 17. 
 02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam 
 no ponto 
0
7
5
 é 25/7. 
 04. As retas r e s são paralelas para k = 2
5
. 
 08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s 
 no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0. 
 16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta 
 r é 20. 
 
Tarefa Mínima  
 
1. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y - 
4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0: 
 
 a) são paralelas 
 b) são coincidentes 
 c) são concorrentes mas não perpendiculares. 
 d) interceptam-se no 1º quadrante e são 
 perpendiculares. 
 e) interceptam-se no 4º quadrante e são 
 perpendiculares. 
 
2. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é 
paralela à reta de equação 5x + y = 0 é: 
 
a) 5x + y + 10 = 0 b) – 5x + y + 10 = 0 
c) 5x – y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0 
e) – 5x + y – 10 = 0 
 
3. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e (s) ax + 
3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale: 
 
a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 3 
 
4. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e 
C(4,1). A altura em relação à base BC mede: 
 
5. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - y 
+ 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 
2
 se, e somente se: 
 
 a) k = 0 b) k = 4 c) k = 8 
 d) k = 0 ou k = 8 e) k = -4 ou k = 8 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 18 
Tarefa Complementar  
 
6. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B( 1, 3) e C(2, 7), 
determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao 
lado BC. 
 
7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinale 
a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
 
 
 
 01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0. 
 02. A reta s e a reta r são perpendiculares. 
 04. As retas r e s se interceptam no ponto de 
 abscissa 
5
4
. 
 08. A distância da origem do sistema de 
 coordenadas cartesianas à reta r é de 
2
2
 
 unidades. 
 16. A área da região do plano limitada pelas retas r, 
 s e pelo eixo das abscissas é igual a 
10
3
 
 unidades de área. 
 
8. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são 
extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A 
equação da reta suporte da outra diagonal é: 
 
 a) 2x - 3y - 1 = 0 
 b) 2x + 3y - 7 = 0 
 c) 3x + 2y - 8 = 0 
 d) 3x - 2y - 4 = 0\ 
 
9. A medida da altura do trapézio cujos vértices são os 
pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é: 
 
10. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas 
no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x – 
3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo 
das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é 
perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que: 
 
 
 
 01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0). 
 02. o ponto C é (0, 
2
3
 ). 
 04. a distância entre r e s é 3. 
 08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são, 
 respectivamente, 
2
1
 , 
2
1
 e –2. 
 16. a equação da reta t é y = –2x + 6. 
 32. a equação da reta horizontal que passa por A é 
 x = 0. 
 64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3. 
 
 UNIDADE 12 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
DEFINIÇÃO 
 
Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de 
um plano que se equidistam de um ponto C denominado 
centro da circunferência. Essa distância é denominada raio 
da circunferência. 
 
 
 
 R 
 C 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 
 
Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um ponto 
genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P 
é o raio da circunferência. 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 19 
Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes 
formas: 
 
Equação Reduzida: 
 
 (x a)
2
 + (y b)
2
 = R
2
 
 
 
Exemplo: Determine equação da circunferência de raio 
 3 e centro C(2, 5): 
 
 Resolução: (x )
2
 + (y )
2
 = R
2
 
 (x 2)
2
 + (y 5)
2
 = 3
2
 
 Logo, a equação procurada é: (x 2)
2
 + (y 5)
2
 = 9 
 
CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir 
 centro na origem então a equação 
 (x )
2
 + (y )
2
 = R
2
 
 fica reduzida a: x
2
 + y
2
 = R
2
 
 
Equação Geral: 
 
 A Equação Geral da circunferência é obtida 
 desenvolvendo a equação reduzida. Veja: 
 
 (x a)
2
 + (y b)
2
 = R
2
 
 x
2
 2ax + a
2
 + y
2
 2by + b
2
 = R
2
 
 x
2
 + y
2
 2ax 2by + a
2
 + b
2 
 R
2
 = 0 
 
 x
2
 + y
2
 + Ax + By + C = 0 
 
 onde: A = 2a; B = 2b; C = a
2
 + b
2 
 R
2
 
 
Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência 
 de raio 3 e centro C(2, 5) 
 
 Resolução: (x )
2
 + (y )
2
 = R
2
 
 (x 2)
2
 + (y 5)
2
 = 3
2
 
 (x 2)
2
 + (y 5)
2
 = 9 
 x
2
 4x + 4 + y
2
 10y + 25 9 = 0 
 
 Logo, a equação geral é x
2
 + y
2
 4x 10y + 20 = 0 
 
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA 
 
Vamos comparar a equação de uma circunferência com 
uma equação do 2º grau completa. 
x
2
 + y
2
 + Kxy + Ax + By + C = 0 
 
Sendo assim, essa equação só irá representar a equação de 
uma circunferência se e só se: 
 
 Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de 
zero. 
 Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0. 
 A2 + B2 4AC > 0 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
Ponto e Reta 
 
Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência 
(x )
2
 + (y )
2
 = R
2
. Em relação a circunferência, o 
ponto P pode assumir as seguintes posições: 
 
Para determinar a posição do ponto P em relação a 
circunferência, substitui-se as coordenadas de P na 
equação da circunferência.Assim, podemos ter: 
 
 (xP )
2
 + (yP )
2
 R
2
 < 0 P interior à 
circunferência 
 
 (xP )
2
 + (yP )
2
 R
2
 = 0 P pertence à 
circunferência 
 
 (xP )
2
 + (yP )
2
 R
2
 > 0 P exterior à 
circunferência 
 
Reta e Circunferência 
 
Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma 
circunferência (x )
2
 + (y )
2
 = R
2
 . Em relação à 
circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições: 
 
 
 
Para determinar a posição da reta r em relação à 
circunferência, substitui-se a equação da reta na equação 
da circunferência. Assim, teremos uma equação do 
2º Grau. Então, se: 
 
 < 0 reta externa (não existe ponto de intersecção) 
 
 
 = 0 reta tangente (existe um ponto de intersecção) 
 
 
 > 0 reta secante (existe dois pontos de 
intersecção) 
 
Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são 
obtidos por um sistema de equações. 
 
Exercícios de Sala  
 
1. Determinar a equação da circunferência na forma 
reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos: 
 
a) C(4, 7) e R = 2 b) C(2, -3) e R = 5 
c) C(3, 0) e R = 
5
 d) C(0, 3) e R = 
5
 
e) C(0, 0) e R = 3 
 
 
Matemática B Inclusão para a Vida 
 
Pré-Vestibular da UFSC 20 
2. A soma das coordenadas do centro da circunferência de 
equação x
2
 + y
2
 - 4x - 6y - 12 = 0, é: 
 
a) 4 b) 5 c) 6 
d) 7 e) 8 
 
3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 -
2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6. 
Determine a soma dos números associados à(s) 
proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
 
 01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da 
 circunferência C são (1,1) e 2
2
 respectivamente. 
 02. A circunferência C limita um círculo cuja área é 
 8 . 
 04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar 
 que C e r são secantes. 
 08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio 
 
2
 é tangente externamente à circunferência C. 
 16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode- 
 se afirmar que o ponto P é exterior à C. 
 
Tarefa Mínima  
 
1. A equação da circunferência de centro C(-2,2) e 
tangente aos eixos coordenados é: 
 
a) (x + 2)
2
 + (y – 2)2 = 4 
b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4 
c) (x + 2)
2
 + (y + 2)
2
 = 2 
d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 
e) (x + 2)
2
 – (y – 2)2 = 4 
 
2. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y2 + 6x 
– 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é: 
 
a) 2 b) – 3 c) 3 
d) – 2 e) – 1 
 
3. O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 é 
um ponto localizado no: 
 
a) primeiro quadrante b) segundo quadrante 
c) terceiro quadrante d) quarto quadrante 
e) eixo x 
 
4. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma 
circunferência que tem o segmento MN como um 
diâmetro, então a equação de C1 é: 
 
 a) x
2
 + y
2
 - 12x - 2y + 27 = 0 
 b) x
2
 + y
2
 + 12x - 2y + 27 = 0 
 c) x
2
 + y
2
 + 12x + 2y + 27 = 0 
 d) x
2
 + y
2
 - 12x + 2y + 27 = 0 
 
5. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y2 - 
4x = 0. Determinar a área da região limitada por . 
 
 a) 4 b) 2 c) 5 
 d) 3 e) n.d.a. 
Tarefa Complementar  
 
6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que a 
equação x
2
 + y
2
 + 4x - 6y + k = 0 represente uma 
circunferência, é: 
 
 a) 10 b) 12 c) 13 
 d) 15 e) 16 
 
7. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculo 
x
2
 + y
2
 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento 
 
8. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na 
circunferência x
2
 + y
2
 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de 
comprimento igual a: 
 
 a) 3 b) 
3
 c) 2
3
 
 d) 6 e) 2
2
 
 
9. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que 
a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência. 
 
 a) 16 b) 4 c) 2 
 d) 32 e) n.d.a. 
 
10. (UFSC) Considere a circunferência C: 
1634
22
yx
 e a reta r: 4x + 3y 10 = 0. 
 
 Assinale no cartão-resposta a soma dos números 
associados à(s) proposição(ões) correta(s). 
 
 01. r C = . 
 02. O centro de C é o ponto (3, 4). 
 04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas 
 em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um) 
 ponto. 
 08. A distância da reta r ao centro de C é menor do 
 que 4. 
 16. A função y dada pela equação da reta r é 
 decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática B 
 
Pré-Vestibular da UFSC 1 
 
GABARITO 
 
Unidade 1 
1) a) 81 b) – 81 c) 81 d) 1 e) 0 
f) 1 g) 
16
1
 h) 
125
8
 i) 18 j) – 5 k) 
35/12 
2) a) 2
15
 b) 2
13 
3) a) 2100 + 1 b) 2101 c) 2102 d) 2200 e) 
299 f) 250 
4) a) 5 b) 2 c) 0 d) 1 e) 9/4 
f) – 0,5 
5) a) 
2
25
 b) 
32
 c) 
5
2523
 d) 
5(
23
) 
6) e 
7) 15 
8) c 
9) d 
10) e 
11) e 
12) 31 
13) c 
14) d 
15) e 
 
Unidade 2 
1) a) 6 b) 3 c) 5
2
 
2) e 
3) 30° 
4) x = 2 y = 2
3
 
5) 14 
6) 180 m 
7) x = 100
3
 y = 100 
8) e 9) 31 10) 57 
 
Unidade 3 
1) 4
2
 
2) 75 
3) 14 
4) d 
5) e 
6) b 
7) b 
8) a 
9) 2
7
 
10) b 
 
Unidades 4 e 5 
1) a) 120° b) 30° 
2) a 
3) 2 
4) b 
5) a 
6) a) S = 
2
 b) S = 
2
3
,
2
 
 c) S = 
18
33
,
6
7
 d) 
4
7
,
4
 
7) c 
8) c 
9) b 
10) c 
11) b 
12) 13 
13) c 
14) c 
15) 04 
 
Unidade 6 
1) 
3
22 
2) 00 
3) 00 
4) 01 
5) a) 4) 
3
4
,
3
 b) 
3 7
0
4 4
, , ,
 
6) 01 
7) 01 
8) 
2
 
9) b 
10) d 
 
Unidade 7 
1) a) 2 b) 2 c) – 1 
2) a 
3) 25 
4) e 
5) 41 
6) 01 
7) a 
8) 86 
9) 12 
10) c 
 
Unidades 8 e 9 
1) e 
2) 13 
3) e 
4) e 
5) 16 
6) 08 
7) c 
8) 03 
9) a 
10) e 
11) a 
12) 81 
 
Unidade 10 
1) a) 5x + y – 7 = 0 b) y = - 5x + 7 
c) – 5 e 7 
2) 23 
3) y = x
3
 - 2 
4) c 
5) d 
6) y = 3x – 2 
7) 07 
8) 55 
9) 90 
10) 20 
 
Unidade 11 
1) c 
2) a 
3) c 
4) 
2
25
 
5) d 
6) 04 
7) 09 
8) d 
9) 02 
10) 90 
 
Unidade 12 
1) a 
2) c 
3) a 
4) a 
5) a 
6) c 
7) 08 
8) c 
9) a 
10) 28