Listacap2-Vetores

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Depto. de Física 
Física I 
Lista do capítulo 2 
1. Quais são as propriedades de dois vetores a e b , tais que: 
a) a b c e a b c
 
b) a b c e a b c
 
c) a b a b
 
d) a b c e a b c2 2 2
 
R: a) a e b devem ser colineares e de mesmo sentido. b) a e b devem ser colineares 
e de sentidos opostos. c) b = 0 d) a e b devem ser perpendiculares entre si. 
2. Um deslocamento possui módulo s1=30cm. Outro deslocamento possui módulo 
s2=40cm. a) Determine o módulo s do deslocamento resultante supondo que os dois 
deslocamentos sejam perpendiculares entre si. b) Se o módulo de s for igual a 70cm, 
qual será a orientação relativa dos deslocamentos? c) E se o módulo do deslocamento 
resultante for igual a 10cm? 
R: a) s = 50 cm b) Os dois deslocamentos serão paralelos e de mesmo sentido. 
c) Os dois deslocamentos serão paralelos e de sentidos contrários. 
3. Um carro percorre uma distância de 30km no sentido Oeste-Leste; a seguir 
percorre 10 km no sentido Sul-Norte e finalmente percorre 5km numa direção que 
forma um ângulo de 30° com o Norte e 60° com o Leste. Usando o método gráfico e 
o método analítico, calcule: a) O módulo do deslocamento resultante. b) O ângulo 
entre o vetor deslocamento resultante e o sentido Oeste-Leste. 
R: a) 35,5 km b) 23,8° 
4. Um vetor a
 
tem módulo de 10 unidades e sentido de Oeste para Leste. Um vetor b
 
tem módulo de 20 unidades e sentido de Sul para Norte. Determine o módulo dos 
seguintes vetores: a) a b , b) a b . 
R: a) 22,4 unidades b) 22,4 unidades 
5. Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a bola num buraco. A primeira 
tacada desloca a bola 6 m para o Norte, a segunda desloca a bola 2 m para o Leste e a 
terceira desloca a bola 2m para o Nordeste. Determine o módulo, a direção e o 
sentido do deslocamento equivalente que poderia ser obtido com uma única tacada. 
R: Módulo: 8,16 m; direção: formando um ângulo de 65,3° com o Leste e 24,7° com 
o Norte. 
6. Dois vetores são dados por: a i j k3 2
^ ^ ^ 
e b i j k3 2
^ ^ ^
. Determine: a) a b , b) 
a b , c) a b . 
R: a) 6 3 3i j k^ ^ ^ b) j k^ ^ c) j k^ ^
 
7. Determine os módulos dos vetores componentes da resultante e o módulo da 
resultante da soma de dois deslocamentos vetoriais a e b . Suponha que os vetores a e 
b
 
possuam os seguintes componentes (em m ), em relação a um sistema cartesiano 
ortogonal: ax = 4, bx = -2; ay = 0, by = 5; az = 3, bz = -1. 
R: Módulo dos componentes: 2 m, 5 m, 2 m; módulo da resultante: 5,74 m. 
8. Uma sala tem as seguintes dimensões: 3 m x 4 m x 3 m. Um inseto voa desde um 
canto da sala até o outro canto diametralmente oposto. a) Calcule o módulo do 
deslocamento total do inseto. b) O deslocamento total depende da trajetória? c) Faça 
um esquema usando um sistema cartesiano tri-ortogonal para indicar os componentes 
do vetor deslocamento total. 
R: a) 5,8 m b) Não 
9. Dois vetores de módulos a e b fazem um ângulo 
 
entre si. Prove, considerando os 
componentes ao longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo da resultante dos 
dois vetores é r = (a2 + b2 + 2abcos )1/2. 
10. Dados dois vetores jia 2 e b i j , determine o módulo e a direção de: 
a) a , b) b , c) ba , d) ba e) .ab 
R: a) 2,24; 26,6° com eixo OX positivo, no sentido horário. 
b) 1,41; 45° com o eixo OX positivo, no sentido horário. 
c) 1; paralelo ao eixo OX positivo. 
d) 3,61; 33,7° com o eixo OX positivo, no sentido horário. 
e) 1; 180° com o eixo OX positivo, no sentido anti-horário. 
11. Os vetores a
 
e b
 
estão orientados conforme 
indica a Fig.1. A resultante da soma destes 
vetores vale R . Temos: a=b =5unidades. 
Determinar: a) Os componentes de R
 
segundo Ox 
e segundo Oy. b) O módulo de R . c) O ângulo 
que R forma com o eixo Ox. 
R: a) Rx = 0,79 unidades; Ry = 6,04 unidades b) R = 6,09 unidades c) 82,5° no 
sentido anti-horário. 
 
12. Os vetores estão orientados conforme indica 
a Fig.2. Calcule: a) o vetor r a b c ; b) o 
módulo e a direção de r . 
Suponha a = 5, b= 4 e c= 3 unidades. 
R: a) r i j0 4 0 4, , b) 0,56 unidades. O vetor r
 
faz um ângulo de 45o com o semi-eixo OX, 
positivo. 
 
Fig. 2 
 
13. Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos sobre um plano: 2 m de Norte 
para Sul, 4 m de Oeste para Leste e 12 m numa direção que forma um ângulo de 60° 
com o Leste e de 30° com o Norte. Escolha o eixo Ox apontando no sentido Oeste-
Leste e o eixo Oy no sentido Sul-Norte. Faça a origem O coincidir com a origem dos 
deslocamentos. Determine: a) os componentes de cada deslocamento; b) os 
componentes do deslocamento R
 
resultante; c) o módulo, a direção e o sentido do 
deslocamento resultante. d) Compare o módulo do deslocamento com a distância 
percorrida pela partícula. 
R: a) ax = 0; ay = -2 m; bx = 4 m; by = 0 ; cx = 6 m; cy = 10,39 m 
b) Rx = 10 m; Ry = 8,39 m 
c) R = 13,05 m; direção: 40° com o eixo OX positivo, no sentido anti-horário. 
d) A distância percorrida pela partícula é 18m ( 13,05m). 
14. Uma pessoa deseja atingir um ponto que dista 3,4 km de sua posição atual e na 
direção que faz 35° com o norte e 55° com o leste. Entretanto, ela deve caminhar por 
ruas que se estendem pelas direções norte-sul e leste-oeste. Qual é a distância mínima 
que ela deverá caminhar para chegar ao seu destino? 
R: 4,74 km 
15. Uma estação de radar observa um avião 
aproximando-se vindo do leste. Na primeira 
observação, a posição do avião é de 360 m a 
uma altura de 40° acima do hori-zonte. O 
avião é rastreado por 123°no plano leste-
oeste e a distância final é de 791m (Fig.2.). 
Determine o módulo do deslocamento do 
avião durante o período de observação. 
R: 1032,2 m 
16. Um vetor v
 
possui módulo igual a 4 m e está situado a 45° com a direção Oeste-
Leste no sentido anti-horário. Determine o módulo, a direção e o sentido dos 
seguintes vetores: (a) v / 2, (b) 2 v . 
R: a) 2m, 45° com a direção Oeste-Leste no sentido anti-horário. 
b) 8 m, 225° com a direção Oeste-Leste no sentido anti-horário. 
17. Dois vetores são dados por a i j k3 2
^ ^ ^ 
e b i j k3 2
^ ^ ^
. Determine: (a) o vetor 
3 2a b (b) 3 2a b
 
R: a) 3 4i j k^ ^ ^ b) 5,1 
18. Os vetores kjia 552 e b i j k20 12 4 são perpendiculares? 
R: Sim 
 
Fig. 3 
19. Qual o valor de m
 
para que c i j k3 5 9 e a i m j k7 4 sejam 
perpendiculares? 
R: m=3 
20. Dado os vetores a i j k8 6
 
e b i j k2 3 , obtenha: a) o ângulo entre a eb ; 
b) o ângulo que o vetor a faz com o eixo OX positivo. 
R: a) 70o b) 37o 
21. Prove que dois vetores devem ter módulos iguais para que a sua soma seja 
perpendicular à sua diferença. 
22. a) Determine o vetor r a b c
 
se a i j k5 4 6
^ ^ ^
, b i j k2 2 3
^ ^ ^ 
e 
c i j k4 3 2
^ ^ ^
. b) Calcule o ângulo entre r e o semi-eixo OZ positivo. 
R: a) r i j k11 5 7^ ^ ^ ; r = 14; b) 120° 
23. Um vetor a
 
de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b
 
de módulo igual a 6 
unidades apontam para direções que fazem um ângulo de 60° entre si. (a) Determine 
o produto escalar entre os dois vetores e (b) o produto vetorial entre eles. 
R: a) 30 unidades b) 52 unidades; direção: perpendicular ao plano formado pelos 
dois vetores; sentido: dado pela regra da mão direita. 
24. Dado os vetores ,22,3 kjicejbia obtenha: a) a x c b) a x b 
c) b x a (d) b x c 
R: a) 4,24 b) 6k c) -6 k d) -2 i k4
 
25. Encontre um vetor perpendicular aos vetores .253 kjbekjia
 
R: Por exemplo, 3 6 15i j k . 
26. Encontre um vetor unitário perpendicular aos vetores a i j k ebi k3 4 . 
R: ( -4 / 8,6 i +7 / 8,6 j -3 / 8,6 k )