Força Central inversamente proporcional ao quadrado da distância

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1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
Keith R. Symon 
 
FORÇA CENTRAL INVERSAMENTE PROPORCIONAL AO 
QUADRADO DA DISTÂNCIA 
 
Um problema muito importante sobre o movimento é o de uma massa cujo 
movimento se faz sob a ação de uma Força Central inversamente 
proporcional ao quadrado da distância ao seu centro, 
𝐹 (
1
𝜇
) = 𝑘. 𝜇2 
ou 
𝐹 =
𝑘
𝑟2
�̂� 
a energia potencial referente a esta força é: 
𝑉(𝑟) =
𝑘
𝑟
 
O ponto de referência rs é tomado no infinito. A Força Gravitacional entre 
duas massas 𝑚1 e 𝑚2, separadas pela distância 𝑟, é dada pela seguinte 
equação: 
𝐾 = −𝐺.𝑚1.𝑚2 
𝐺 = 6,67𝑥10−8𝑑𝑖𝑛𝑎. 𝑔−2. 𝑐𝑚−2 
onde 𝐾 é negativo por que a força é atrativa. A Força Eletrostática entre 
duas cargas 𝑞1 e 𝑞2, separadas pela distância 𝑟, é dada pela seguinte 
equação: 
𝐾 = 𝑞1. 𝑞2 
 
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onde as cargas são dadas em unidades eletrostáticas e a Força em dinas. A 
Força Eletrostática é repulsiva quando 𝑞1 e 𝑞2 tem o mesmo sinal, e atrativa 
em caso contrário. 
Os primeiros problemas que se aplicou a Física Newtoniana eram aqueles 
que envolvia o movimento dos planetas sob a ação da atração gravitacional 
do Sol e o movimento dos satélites em torno dos planetas. O sucesso da 
teoria na descrição destes movimentos é responsável por sua aceitação 
inicial. 
Sabemos que a Energia Mecânica para movimento de Força Central é: 
𝐸 =
1
2
𝑚. 𝑟2 +
𝐿2
2𝑚. 𝑟2
+ 𝑉(𝑟) 
Logo, o potencial efetivo é: 
𝑉𝑒𝑓 = 𝑉(𝑟) +
𝐿2
2𝑚. 𝑟2
 
 
No gráfico acima, temos representado o “potencial efetivo” 
 
 
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A equação da trajetória dado pela mudança de variável é: 
𝑑2𝜇
𝑑𝜃2
+ 𝜇 = −
𝑚
𝐿2. 𝜇2
�⃗� (
1
𝜇
) 
substituindo 𝐹 (
1
𝜇
) = 𝑘. 𝜇2 na equação da trajetória, temos, 
𝑑2𝜇
𝑑𝜃2
+ 𝜇 = −
𝑚. 𝑘
𝐿2
 
a equação acima é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de 2ª ordem, e 
para acharmos uma solução teremos que seguir com os cálculos de EDO, 
𝜇𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝜇ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 + 𝜇𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 
𝜇ℎ = 𝐴. cos(𝜃 − 𝜃0) 𝜇𝑝 = −
𝑚.𝑘
𝐿2
 
𝜇𝑔 = 𝐴. cos(𝜃 − 𝜃0) −
𝑚. 𝑘
𝐿2
 
𝟏
𝒓
= 𝑨. 𝐜𝐨𝐬 𝜽 −
𝒎.𝒌
𝑳𝟐
 então: 𝐵 = −
𝑚.𝑘
𝐿2
 
*equação de uma seção cônica; 
FORÇA CENTRAL – SESSÃO CÔNICA 
1
𝑟
= 𝐵 + 𝐴. cos 𝜃 
- Elipse; 𝐵 > 𝐴 e 𝜀 < 1 
1
𝑟
=
1
𝑎(1 − 𝜀2)
+
1
𝑎(1 − 𝜀2)
. cos𝜃 
- Hipérbole; 𝜀 > 1 
𝐴 > 𝐵 > 0 ramo positivo; 
0 > 𝐵 > −𝐴 ramo negativo; 
 
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1
𝑟
= ±
1
𝑎(𝜀2 − 1)
+
1
𝑎(𝜀2 − 1)
. cos𝜃 
- Parábola;𝐵 = 𝐴 
1
𝑟
=
1
𝑎
+
1
𝑎
. cos 𝜃 
*lembrando que: 
𝑎 = |
𝐵
𝐵2 − 𝐴2
| 
𝜀 =
𝐴
|𝐵|
 
 
 
 
 
 
Espero ter ajudado