Exercício - 1ª Unidade - Modelagem Matemática Resolvida

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Disciplina: Modelagem 
Matemática 1ª Lista de Exercícios 
 
1) Suponha que você tenha a tarefa de medir os comprimentos de uma ponte e 
de um rebite e que conseguiu 9.999 e 9 cm, respectivamente. Se os valores 
verdadeiros forem 10.000 e 10 cm, respectivamente, calcule (a) o erro 
verdadeiro e (b) o erro relativo porcentual verdadeiro para cada caso. 
 
a) Erro verdadeiro 
Erros numéricos são causados pelo uso de aproximações para representar 
operações e quantidades matemáticas exatas. 
 
𝐸𝑡 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜 − 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜 
• Comprimento de uma ponte 
𝐸𝑡 = 10.000 − 9.999 
𝑬𝒕 = 𝟏𝒄𝒎 
 
• Comprimento de um rebite 
𝐸𝑡 = 10 − 9 
𝑬𝒕 = 𝟏𝒄𝒎 
 
 
b) Erro relativo porcentual 
O Erro verdadeiro não leva em conta a ordem de grandeza do valor que está 
sendo examinado. Podemos definir então o erro relativo percentual verdadeiro. 
𝐸𝑟𝑡 = (
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜 − 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎çã𝑜
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜
) 𝑥100 
 
• Comprimento de uma ponte 
𝐸𝑟𝑡 = (
10.000 − 9.999
10.000
) 𝑥100 
𝑬𝒓𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟏% 
 
• Comprimento de um rebite 
𝐸𝑟𝑡 = (
10 − 9
10
) 𝑥100 
𝑬𝒓𝒕 = 𝟏𝟎% 
2) Seja f(x) = x³ – x – 1 Intervalo inicial atribuído: [1, 2] Considerando-se ε = 
0,002. Calcule a raiz da função utilizando o Método da Bisseção até a quinta 
iteração. 
Intervalo inicial atribuído: [1, 2] 𝑎0 = 1; 𝑏0 = 2 
ε = 0,002 
• Estimando o número de interações 
 
𝑖 >
log(𝑏0 − 𝑎0) − log (ε)
log(2)
 
 
𝑖 >
log(2 − 1) − log (2x10−3)
log(2)
 
 
𝑖 >
−(−2,69897)
0,301029995
 
𝑖 > 8,9657 
Vai ser necessário cerca de 9 interações. 
𝑓(1) = −1 
𝑓(2) = 5 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥² – 1 
𝑓(1) ∗ 𝑓(2) = −5 < 0 
• Derivadas 
𝑓’(1) = 2 
𝑓’(2) = 11 
Sinal da derivada constante 
 
• Cálculo da 1ª aproximação (i=0) 
 𝑥1 = (𝑎0 + 𝑏0)/2 = (1 + 2)/2 
𝑥1 = 1,5 
 𝑓(𝑥1) = 1,5³ – 1,5 – 1 = 0,875000 
• Teste de Parada 
|𝑓(𝑥1)| = |0,875| = 0,875000 > 0,002 
• Escolha do Novo Intervalo 
𝑓(𝑎0). 𝑓(𝑥1) = (−1).0,875 = −0,875 
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝑎1 = 𝑎0 = 1,000000 𝑒 𝑏1 = 𝑥1 = 1,5000 
_______________________________________________________________________
__ 
• Cálculo da 2ª aproximação (i=1) 
 𝑥2 = (𝑎1 + 𝑏1)/2 = (1 + 1,5)/2 
𝑥2 = 1,25 
 𝑓(𝑥2) = 1,253– 1,25 – 1 = −0,296875 
• Teste de Parada 
|𝑓(𝑥2)| = | − 0,296875| = 0,296875 > 0,002 
• Escolha do Novo Intervalo 
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝑎2 = 𝑥2 = 1,25𝑒 𝑏2 = 𝑥1 = 1,5000 
_______________________________________________________________________
__ 
• Cálculo da 3ª aproximação (i=2) 
 𝑥3 = (𝑎2 + 𝑏2)/2 = (1,25 + 1,5)/2 
𝑥3 = 1,375 
 𝑓(𝑥3) = 1,3753– 1,375 – 1 = 0,224609375 
• Teste de Parada 
|𝑓(𝑥3)| = |0,224609375| = 0,224609375 > 0,002 
• Escolha do Novo Intervalo 
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝑎3 = 𝑎2 = 1,25𝑒 𝑏3 = 𝑥3 = 1,375 
_______________________________________________________________________
__ 
• Cálculo da 4ª aproximação (i=3) 
 𝑥4 = (𝑎3 + 𝑏3)/2 = (1,25 + 1,375)/2 
𝑥4 = 1,3125 
 𝑓(𝑥4) = 1,31253– 1,3125– 1 = −0,05151367 
• Teste de Parada 
|𝑓(𝑥4)| = | − 0,05151367| = 0,05151367 > 0,002 
• Escolha do Novo Intervalo 
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝑎4 = 𝑥4 = 1,3125 𝑒 𝑏4 = 𝑏3 = 1,375 
_______________________________________________________________________
__ 
• Cálculo da 5ª aproximação (i=4) 
𝑥5 = (𝑎4 + 𝑏4)/2 = (1,3125 + 1,375)/2 
𝑥5 = 1,34375 
𝑓(𝑥5) = 1,343753– 1,34375– 1 = 0,082611083 
• Teste de Parada 
|𝑓(𝑥5)| = |0,082611083| = 0,082611083 > 0,002 
• Escolha do Novo Intervalo 
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝑎5 = 𝑎4 = 1,3125 𝑒 𝑏5 = 𝑥5 = 1,34375 
_______________________________________________________________________
__ 
• Cálculo da 6ª aproximação (i=5) 
𝑥6 = (𝑎5 + 𝑏5)/2 = (1,3125 + 1,34375)/2 
𝑥5 = 1,328125 
𝑓(𝑥6) = 1,3281253– 1,328125– 1 = 0,014575958 
• Teste de Parada 
|𝑓(𝑥6)| = |0,014575958| = 0,014575958 > 0,002 
Na 5° Interação o erro ainda foi maior que 0,02 como esperado que era necessário 
cerca de 9 interações. 
 
Observe a tabela a seguir: 
 
i 𝒂𝒊 𝒃𝒊 𝒇(𝒂𝒊) 𝒇(𝒂𝒊) 𝑿𝒊+𝟏 𝒇(𝑿𝒊+𝟏) 
0 1 2 -1 5 1,5 0,875 
1 1 1,5 -1 0,875 1,25 -0,29688 
2 1,25 1,5 -0,29688 0,875 1,375 0,224609 
3 1,25 1,375 -0,29688 0,224609 1,3125 -0,05151 
4 1,3125 1,375 -0,05151 0,224609 1,34375 0,082611 
5 1,3125 1,34375 -0,05151 0,082611 1,328125 0,014576 
6 1,3125 1,328125 -0,05151 0,014576 1,320313 -0,01871 
7 1,320313 1,328125 -0,01871 0,014576 1,324219 -0,00213 
8 1,324219 1,328125 -0,00213 0,014576 1,326172 0,006209 
9 1,324219 1,326172 -0,00213 0,006209 1,325195 0,002037 
 
 
3) Dada a equação x²-2 = 0, tem uma raiz real no intervalo I = 1,4 a 1,5. 
 
Dado x0 = 1,4 , calcule uma melhor aproximação para x1, através do método 
de Newton-Raphson. 
𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓
′(𝑥0). (𝑥 − 𝑥0) 
0 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓
′(𝑥0). (𝑥1 − 𝑥0) 
−𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
= (𝑥1 − 𝑥0) 
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
 
 
𝑓(𝑥0) = 𝑥0
2 − 2 
𝑓(1,4) = 1,42 − 2 = −0,04 
 
𝑓′(𝑥0) = 2𝑥 
𝑓′(1,4) = 2.1,4 = 2,8 
 
𝑥1 = 1,4 −
−0,04
2,8
 
 
𝒙𝟏 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒 
 
4) Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o 
nível de concentração de oxigénio c num rio, em função da distância x, medida 
a partir do local de descarga de poluentes: 𝑐(𝑥) = 10 − 20(𝑒−0.2𝑥 − 𝑒−0.75𝑥). 
Calcule, usando um método que recorre ao cálculo de derivadas, a distância 
para a qual o nível de oxigénio desce para o valor 5. Utilize para aproximação 
inicial o valor x1 = 1.0 e considere ε1 = ε2 = 0,01 ou no máximo 3 iterações. 
Utilize nos cálculos 4 casas decimais. 
• Resolver 𝑓(𝑥) = 5 
𝑓(𝑥) = 10 − 20. (𝑒−0,2𝑥 − 𝑒−0,75𝑥) − 5 
𝑓′(𝑥) = −20. 𝑒−0,2𝑥. −0,2 + 20. 𝑒−0,75𝑥. −0,75 
𝑓′(𝑥) = 4. 𝑒−0,2𝑥 − 15. 𝑒−0,75𝑥 
• Utilizando o método de Newton-Raphson 
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓(𝑥1)
𝑓′(𝑥1)
 
X1=1,0 
𝑓(1) = 10 − 20. (𝑒−0,2𝑥 − 𝑒−0,75𝑥) − 5 
𝑓(1) = 10 − 20. (𝑒−0,2.1 − 𝑒−0,75.1) − 5 
𝑓(1) = −1,9273 
 
𝑓′(1) = 4. 𝑒−0,2.1 − 15. 𝑒−0,75.1 
𝑓′(1) = −3,8106 
 
 
𝑥2 = 1 −
−1,9273
−3,8106
= 0,4942 
• Critério de paragem 
|𝑓(𝑥2)| = 0,6880 ≤ 0,01 (𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜) 
_________________________________________________________________ 
𝑓(0,4942) = 10 − 20. (𝑒−0,2.0,4942 − 𝑒−0,75.0,4942) − 5 
𝑓(0,4942) = 0,6880 
 
𝑓′(0,4942) = 4. 𝑒−0,2.0,4942 − 15. 𝑒−0,75.0,4942 
𝑓′(0,4942) = −6,7307 
 
 
𝑥3 = 0,4942 −
0,6880
−6,7307
= 0,5964 
• Critério de paragem 
|𝑓(𝑥3)| = 0,03586 ≤ 0,01 (𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜) 
_________________________________________________________________ 
𝑓(0,5964) = 10 − 20. (𝑒−0,2.0,5964 − 𝑒−0,75.0,5964) − 5 
𝑓(0,5964) = 0,03586 
 
𝑓′(0,5964) = 4. 𝑒−0,2.0,4942 − 15. 𝑒−0,75.0,4942 
𝑓′(0,5964) = −6,0400 
 
 
𝑥4 = 0,5964 −
0,03586
−6,0400
 
𝒙𝟒 = 𝟎, 𝟔𝟎𝟐𝟎 
• Critério de paragem 
|𝑓(𝑥4)| = 0,0021 ≤ 0,01 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
|0,6020 − 0,5964|
|0,6020|
= 0,0093 ≤ 0,01(𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
 
 
 
 
 
 
5) Num determinado circuito elétrico, as correntes i1, i2 e i3 passam através 
das impedâncias Z1, Z2 e Z3 e são dadas por: 
 
 
Calcule o valor das correntes i1, i2 e i3 através do método de eliminação 
de Gauss. 
{
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 = 0
10𝑖1 − 8𝑖2 = 65
8𝑖1 − 3𝑖3 = 120
 
 
Colocando em matriz: 
 
[
1 1 1
10 −8 0
8 0 −3
] . [
𝑖1
𝑖2
𝑖3
] = [
0
65
120
] 
 
• Dividindo a linha 2 por 10 e subtraindo pela linha 1. 
• Dividindo a linha 3 por 8 e subtraindo pela linha 1. 
 
[
1 1 1
0 −1,8 −1
0 −1 −11 8⁄
] . [
𝑖1
𝑖2
𝑖3
] = [
0
6,5
15
] 
• Multiplicando a linha 3 por -1,8 e somando com a linha 2 
[
1 1 1
0 −1,8 −1
0 0 11,8 8⁄
] . [
𝑖1
𝑖2
𝑖3
] = [
0
6,5
−20,5
] 
 
{
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 = 0
−1,8𝑖2 − 𝑖3 = 6,5
11,8
8⁄ 𝑖3 = −20,5
 
 
11,8
8
. 𝑖3 = −20,5 
𝒊𝟑 = −𝟏𝟑, 𝟖𝟗𝟖𝟑 
 
−1,8𝑖2 − 𝑖3 = 6,5 
−1,8𝑖2 + 13,8983 = 6,5 
𝒊𝟐 = 𝟒, 𝟏𝟏 
 
𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 = 0 
𝑖1 + 4,11 − 13,8983 = 0 
𝒊𝟏 = 𝟗, 𝟕𝟖𝟖𝟑