AULA - NIVELAMENTO GEOMÉTRICO

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NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
GEA 104 – TOPOGRAFIA / ALTIMETRIA 
 
Profa. Dra. Mirléia Aparecida de Carvalho 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
CONTEÚDO 
 
1. INTRODUÇÃO. 
2. CONCEITO. 
3. MEDIÇÃO COM O NÍVEL TOPOGRÁFICO. 
4. NIVELAMENTO: 
4.1. SIMPLES. 
4.2. COMPOSTO. 
5. ALGUNS EXEMPLOS DE APLICAÇÃO. 
6. LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO DE UM PERFIL: 
6.1. POLIGONAL ABERTA: 
 6.1.1. CAMPO. 
 6.1.2. ESCRITÓRIO. 
 6.1.3. EXEMPLOS. 
6.2. POLIGONAL FECHADA: 
 6.2.1. CAMPO. 
 6.2.2. ESCRITÓRIO. 
 6.2.3. EXEMPLOS. 
7. FONTES DE ERRO EM UM NIVELAMENTO GEOMÉTRICO: 
7.1. EXEMPLOS. 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Baseia-se na geometria plana: distância entre duas retas 
ou dois planos paralelos é constante; 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
a’ 
b 
b’ 
c 
c’ 
d 
d’ 
pp’ = aa’ = bb’ = cc’ = dd’ 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
 
 É o mais preciso dos métodos. 
 Instrumento: nível: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÍVEL ÓPTICO 
3 
NÍVEL LASER 
 
NÍVEL ELETRÔNICO 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
 
SISTEMA DE EIXOS DOS NÍVEIS 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
INTRODUÇÃO 
Não apresenta 
movimento vertical 
da luneta 
Gira em torno do 
eixo vertical 
• Não mede 
ângulos - 
distâncias 
curtas; e 
• Forma um 
plano de 
visada. 
 
Fonte: Adaptado de Veiga (2004) 
 
SISTEMA DE EIXOS DOS NÍVEIS 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
INTRODUÇÃO 
 
Fonte: Adaptado de Veiga (2004) 
2 
 Acessórios: tripé, trena, piquete, estaca, baliza e régua 
graduada ou mira; 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
 
SISTEMA DE EIXOS DOS NÍVEIS 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
INTRODUÇÃO 
 
Fonte: Adaptado de Veiga (2004) 
FS = Fio superior 
FM = Fio médio 
FI = Fio inferior 
Fio vertical 
2 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
ENTENDENDO A RÉGUA (MIRA) 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
PRIMEIRO NÚMERO = METRO 
ENTENDENDO A RÉGUA (MIRA) 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
SEGUNDO NÚMERO = DECÍMETRO 
ENTENDENDO A RÉGUA (MIRA) 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
TERCEIRO NÚMERO = CENTÍMETRO 
1 cm 
1 cm 
1 cm 
1 cm 
1 cm 
ENTENDENDO A RÉGUA (MIRA) 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
QUARTO NÚMERO = MILÍMETRO 
ENTENDENDO A RÉGUA (MIRA) 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
QUARTO NÚMERO = MILÍMETRO 
PRIMERIO NÚMERO = METRO 
SEGUNDO NÚMERO = DECÍMETRO 
TERCEIRO NÚMERO = CENTÍMETRO 
LEITURA DA RÉGUA (MIRA) 
0,900 m 
0,921 m 
0,968 m 
1,005 m 
0,850 m 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
2. CONCEITO 
 
Método de determinação das diferenças de altitudes 
ou de cotas entre pontos a partir da medição da 
distância vertical entre cada um deles e um plano 
horizontal de referência, gerado por intermédio de 
um instrumento topográfico denominado nível. 
 
 
 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
Fonte: Adaptado de Silva e Segantine (2015) 
CA 
 
DNAB 
 
FMB 
 
FMA 
Plano de Vista do Aparelho 
CB 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria CONCEITO 
Plano de Referência 
Plano de Vista do 
Aparelho 
Plano de 
Referência 
ADAPTADO: http://topografia-turmav2c-uam.blogspot.com/2015/09/ 
Plano da 
Luneta 
(PL) 
 3. MEDIÇÃO COM O NÍVEL TOPOGRÁFICO 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria INTRODUÇÃO 
4. NIVELAMENTO 
 
i = Altura do 
instrumento; 
FM = leitura do fio médio 
(fio nivelador); 
DN = diferença de nível. 
 
i 
 
 
FM 
 
DN 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria NIVELAMENTO 
 4.1. NIVELAMENTO SIMPLES 
Fonte: Silva e Segantine (2015) 
\ 
 (a) NÍVEL NO ALINHAMENTO (b) NÍVEL EM UM PONTO QUALQUER 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria NIVELAMENTO 
 4.2. NIVELAMENTO COMPOSTO 
\ \ Fonte: Adaptado de Silva e Segantine (2015) 
Ré 
 (a) NÍVEL NO ALINHAMENTO (b) NÍVEL EM UM PONTO QUALQUER 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria NIVELAMENTO 
5. ALGUNS EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
6. LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO DE UM PERFIL 
 
6.1. POLIGONAL ABERTA: ponto inicial não coincide 
com o ponto final. 
6.1.1. CAMPO 
6.1.2. ESCRITÓRIO 
 
 
 
6.2. POLIGONAL FECHADA: ponto inicial coincide com o 
ponto final. 
6.2.1. CAMPO 
6.2.2. ESCRITÓRIO 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
6.1. POLIGONAL ABERTA 
6.1.1. campo 
a. Reconhecer a área: 
 
 
 
 
 
CROQUI 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
b. Reunir: pessoal qualificado; instrumentos e acessórios; 
c. Marcar o alinhamento; 
d. Estaquear o perfil: pontos de inflexão ou de 10 em 10 ou 20 
em 20 m; 
e. Realizar o levantamento planimétrico do estaqueamento (DH 
entre os pontos); 
f. Realizar o nivelamento do estaqueamento: 
f1. Estabelecer uma Referência de Nível Local (RNL) ou 
Referência de Nível Verdadeira (RNV); 
f2. Escolher um local para estacionar o aparelho; 
f3. Estacionar o aparelho; 
f4. Fazer as leituras começando pela RNL ou RNV e anotar em 
uma caderneta de campo (Caderneta de Nivelamento): 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - CAMPO 
 
 
MODELO DA CADERNETA DE CAMPO DE NIVELAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ES PV 
 
VISADA [m] PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBSERVAÇÕES 
RÉ VANTE 
Estação Ponto 
visado 
Leitura do 
fio médio 
em um 
ponto de 
cota 
conhecida 
Leitura do 
fio médio 
em um 
ponto que 
se deseja 
determinar 
a cota 
Distância 
entre o 
plano 
formado 
pelo eixo 
ótico da 
luneta e o 
plano de 
referência 
Altitude 
ou altura 
Observações 
relevantes: 
localização dos 
pontos, valor da 
cota de referência, 
distância entre os 
pontos, etc. 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - CAMPO 
CADERNETA DE NIVELAMENTO 
ES PV 
 
LEITURAS DO FM PL COTAS OBSERVAÇÕES 
RÉ VANTE 
 
 
Estação 
P0 
 
... 
 
Pn 
RNL coincide com Po; 
 
CRNL = valor arbitrado 
ou conhecido 
ATENÇÃO: 
 
 Para as estacas de mudança: o último ponto de leitura com o aparelho em 
uma posição será o primeiro ponto de leitura com o aparelho na posição 
seguinte; 
 
 
 Pelos menos até familiarizar-se com as leituras: verificar (FS – FM = FM – FI) 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - CAMPO 
\ \ 
Fonte: Adaptado de Silva e Segantine (2015) 
Ré 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
Estaca 
inicial 
Estaca 
final 
Estacas intermediárias 
POLIGONAL ABERTA - ESCRITÓRIO 
Estaca de 
mudança 
g. Verificar o erro cometido na operação de campo (e): 
 
 
OPERAÇÃO DE CONTRANIVELAMENTO: nivelamento no 
sentido contrário (leitura de Pn para P0) 
 
 
 
 CADERNETA DE CONTRANIVELAMENTO 
ES PV 
 
LEITURAS DO 
FM 
PL COTAS OBSERVAÇÕES 
RÉ VANTE 
Estação Pn 
... 
 
P0 
RNL coincide com Po;CRNL = valor arbitrado ou conhecido 
ATENÇÃO: No contranivelamento a medição é feita no sentido contrário 
do nivelamento. 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - CAMPO 
6.1.2. ESCRITÓRIO 
a. Calcular a caderneta de Nivelamento: 
 
a1. Plano da Luneta (PL): 
 
 
 
 
a2. Cota (C): 
 
 
 
em que: 
CRN = cota conhecida (RNL ou RNV); 
VR = visada à Ré (visada à um 
ponto de cota conhecida); 
CPn = cota de um ponto qualquer; 
VVPn = visada à Vante (visada à um 
ponto que se deseja determinar 
a cota). 
ATENÇÃO: Repetir os cálculos para cada mudança do aparelho. 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - ESCRITÓRIO 
ADAPTADO: http://topografia-turmav2c-uam.blogspot.com/2015/09/ 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
Plano de 
vista do 
aparelho 
PL = 100,00 + 1,60 = 101,60 
CA = 100,00 m CB = 101,60 – 3,10 = 98,50 m CB = 101,60 – 2,80 = 98,80 m 
POLIGONAL ABERTA - ESCRITÓRIO 
Plano de 
Referência 
 
a3. Verificação dos cálculos: 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - ESCRITÓRIO 
b. Calcular a caderneta de Contranivelamento: 
 
 
 b1. Plano da Luneta (PL): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b2. Cotas (C): 
 
 
 b3. Verificação dos cálculos : 
 
 
ATENÇÃO: Os cálculos da caderneta de contranivelamento começam 
pela RN. 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - ESCRITÓRIO 
 
c. Avaliar a precisão do nivelamento: 
 
c1. Calcular a tolerância para o erro de fechamento (erro 
admissível): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - ESCRITÓRIO 
 e = diferença entre as cotas (nivelamento e 
 contranivelamento ou vice e versa), em cada estaca; 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - ESCRITÓRIO 
 
 d. Calcular as cotas corrigidas (finais): 
 
 
 
 
e. Preencher a TABELA DE COTAS. 
PV COTA CALCULADA [m] ERRO (e) 
[m] 
COTA CORRIGIDA 
(FINAL) 
[m] 
NIVELAMENTO CONTRANIVELAMENTO 
Ponto 
visado 
Cotas de 
nivelamento 
Cotas de 
contranivelamento 
Diferença entre 
as cotas de 
nivelamento e 
contranivelament
o ou vice-versa 
Cota corrigida: 
média (cotas de 
nivelamento e 
contranivelamento) 
MODELO DA TABELA DE COTAS 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - ESCRITÓRIO 
 
f. Representar topograficamente o perfil: 
 
 
 
 f1. Escolher as escalas (E): 
 
EH = escala horizontal 
EV = escala vertical 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - ESCRITÓRIO 
 
 
 
 I > 25%: EV = EH 
 
 I ≤ 25%: EV = 10.EH Oferece um exagero vertical, porém com 
melhor visualização do relevo. 
em que: 
I = declividade do perfil [%]. 
Exemplo: 
EH = 1:1.000; 1:500; 1:100; 1:50 etc. 
EV = 1:100; 1:50; 1:10; 1:5 etc. 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL ABERTA - ESCRITÓRIO 
TAMANHO DO PAPEL (FONTE: ABNT, 1987) 
 
f.2. Escolher o papel: 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria PERFIL – ESCRITÓRIO 
em que: 
MH = módulo da escala horizontal; 
MV = módulo da escala vertical; 
Cmáx = cota máxima; 
Cmín = cota mínima; 
3,5 cm e 2,0 = margens (2,5 cm 
esquerda x 1,0 cm 
direita x 1,0 cm 
superior x 1,0 cm 
inferior). 
 Comprimento do papel [cm]: 
 
 Largura do papel [cm]: 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria PERFIL – ESCRITÓRIO 
FOLHAS NA HORIZONTAL E NA VERTICAL 
 
FONTE: ABNT, 1988 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria PERFIL – ESCRITÓRIO 
DISPOSIÇÃO DOS ELEMENTOS 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
SHIROMA, UFSJ 
 
PERFIL – ESCRITÓRIO 
 
 NÚCLEO DIDÁTICO-CIENTÍFICO DE GEOMÁTICA / DEG / UFLA 
OBRA / LEVANTAMENTO: 
LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO DO PERFIL ENTRE OS BLOCOS II E III DO DEG / UFLA 
CLIENTE: 
LOCAL: ESCALA: 
EH: 
EV: 
FOLHA 
01 
 
 FOLHA ÚNICA 
RESPONSÁVEIS: DESENHO: 
Levantamento de Perfil 
DATA: 
XX/XX/2018 
MODELO DA LEGENDA 
175 mm (A0 e A1) e 178 mm (A2, A3, e A4) 
máximo 
287 mm 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria PERFIL – ESCRITÓRIO 
DOBRAGEM DO PAPEL (FONTE: http://www.exatas.ufpr.br) 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria PERFIL – ESCRITÓRIO 
FONTE: http://www.exatas.ufpr.br 
 
DOBRAGEM DO PAPEL 
(FONTE: http://www.exatas.ufpr.br) 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria PERFIL – ESCRITÓRIO 
Figura. Exemplos de Representação 
topográfica de um perfil 
 
 
DH 
Vista Lateral 
Vista Superior 
(a) Estacas Alinhadas 
(b) Estacas Desalinhadas 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria PERFIL – ESCRITÓRIO 
 
 
5.1.3. EXEMPLOS 
 
EXEMPLO 1. Montar e completar a tabela com o perfil e fazer a prova de 
cálculo. 
 
2,618 
PLANO DE REFERÊNCIA – COTA ZERO 
1,343 3,801 
0,860 
2,806 
2,310 3,813 
1,782 
2 
3 
4 
5 
6 
CRN = 100,000 m 
RN - 1 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLO 1 - POLIGONAL ABERTA 
2,618 
PLANO DE REFERÊNCIA – COTA ZERO 
1,343 3,801 
0,860 
2,806 
2,310 3,813 
1,782 
2 
3 
4 
5 
6 
CRN = 100,000 m 
RN - 1 
RESOLUÇÃO: 
ES PV 
MIRA 
PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBSERVAÇÕES RÉ 
[m] 
VANTE 
[m] 
ES1 
RNL-1 1,343 100,000 RNL = 100,000m 
 
 
 
2 2,806 
3 3,801 
ES2 
3 0,860 
4 2,310 
5 3,813 
ES3 
5 1,782 
6 2,618 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLOS 1 - POLIGONAL ABERTA 
 
FÓRMULAS: PL = CRN + FM 
 COTA = PL – FM 
 Cf – Ci =  VR - VVn 
 
 
PASSO 1: Calcular o PL com o aparelho na ES1: 
PL = 100,000 + 1,343 = 101,343 m (mesmo para as estacas 2 e 3) 
 
PASSO 2: Calcular as cotas dos pontos 2 e 3: 
C2 = 101,343 – 2,806 = 98,537 m 
C3 = 101,343 – 3,801 = 97,542 m 
 
PASSO 3: Calcular o PL com o aparelho na ES2: 
PL = 97,542 + 0,860 = 98,402 m (mesmo para as estacas 4 e 5) 
 
PASSO 4: Calcular as cotas dos pontos 4 e 5: 
C4 = 98,402 – 2,310 = 96,092 m 
C5 = 98,402 – 3,813 = 94,589 m 
 
PASSO 5: Calcular o PL com o aparelho na ES3: 
PL = 94,589 + 1,782 = 96,371 m (mesmo para a estaca 6) 
 
PASSO 6: Calcular a cota do pontos 6: 
C6 = 96,371 – 2,618 = 93,753 m 
 
PASSO 7: Verificar os Cálculos 
 
93,753 – 100,000 = (1,343 +0,860 + 1,782) – (3,801 +3,813 + 2,618) 
-6,247 = -6,247 
 
 CADERNETADE NIVELAMENTO 
ES PV 
MIRA 
PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBSERVAÇÕES RÉ 
[m] 
VANT
E 
[m] 
ES1 
RNL-1 1,343 
101,343 
100,000 RNL = 100,000m 
 
 
 
2 2,806 98,537 
3 3,801 97,542 
ES2 
3 0,860 
98,402 
97,542 
4 2,310 96,092 
5 3,813 94,589 
ES3 
5 1,782 
96,371 
94,589 
6 2,618 93,753 
EXEMPLO 1 - POLIGONAL ABERTA 
PV MIRA [m] PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBSERVAÇÕES 
Ré VANTE 
RNL 3,812 347,395 
1 2,514 
2 346,712 
2 3,511 
3 348,002 
4 0,555 
4 
5 3,140 
6 351,163 
7 2,142 351,344 
8 1,243 
9 353,008 
EXEMPLO 2. Completar a caderneta de nivelamento abaixo com os valores que 
faltam e fazer a prova de cálculo. 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/AltimetriaEXEMPLO 2 - POLIGONAL ABERTA 
PV MIRA [m] PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBSERVAÇÕES 
Ré VANTE 
RNL 3,812 347,395 343,583 
1 2,514 347,395 344,881 
2 0,683 347,395 346,712 
2 3,511 350,223 346,712 
3 2,221 350,223 348,002 
4 0,555 350,223 349,668 
4 3,818 353,486 349,668 
5 3,140 353,486 350,346 
6 2,323 353,486 351,163 
7 2,142 353,486 351,344 
8 1,243 353,486 352,243 
9 0,478 353,486 353,008 
RESOLUÇÃO: 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLO 2 - POLIGONAL ABERTA 
1. COTA = 347,395 – 3,812 = 343,583 m 
2. Mesmo PL do ponto 1  COTA = 347,395 – 2,514 = 344,881 m 
3. Mesmo PL do ponto 1  VANTE = 347,395 – 346,712 = 0,683 m 
4. Mesma COTA do ponto 2  PL = 346,712 + 3,511 = 350,223 m 
5. Mesmo PL do ponto 2  VANTE = 350,223 – 348,002 = 2,221 m 
6. Mesmo PL do ponto 2  COTA = 350,223 – 0,555 = 349,668 m 
7. Mesma COTA do ponto 4  COTA = 350,223 – 0,555 = 349,668 m 
8. Verificar ponto 7: calcular PL  352,344 + 2,142 = 353,486 m 
9. Voltar ao 4: mesmo PL do ponto 7  353,486 – 349,668 = 3,818 m 
10. Mesmo PL do ponto 7  COTA = 353,486 - 3,140 = 350,346 m 
11. Mesmo PL do ponto 7  VANTE = 353,486 – 351,163 = 2,323 m 
12. PL = 351,344 + 2,142 = 353,486 m 
13. Mesmo PL do ponto 7  COTA = 353,486 – 1,243 = 352,243 m 
14. Mesmo PL do ponto 7  VANTE = 353,486 – 353,008 = 0,478 m 
EXEMPLO 3. Verificar a aceitabilidade do nivelamento do perfil obtido conforme 
caderneta de campo do quadro abaixo. 
ES PV 
MIRA 
PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBS. RÉ 
[m] 
VANT
E 
[m] 
ES1 
RNL 2,524 RNL = 
10,00m 
 
O perfil 
começa em 
P0 
 
Estacas 
principais a 
cada 20,00 m 
 
P0 1,304 
P1 1,210 
ES2 
P1 3,122 
P2 2,036 
P3 3,000 
P4 0,636 
ES3 
P4 2,840 
P5 1,600 
P6 1,520 
P7 1,420 
PV 
MIRA 
PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBS. RÉ 
[m] 
VANT
E 
[m] 
ES4 
P7 2,022 RNL = 
10,00m 
 
O perfil 
começa em 
P0 
 
Estacas 
principais a 
cada 20,00 m 
 
P6 2,123 
P5 2,202 
P4 3,442 
ES5 
P4 1,231 
P3 3,594 
P2 2,631 
P1 3,717 
ES6 
P1 1,811 
P0 2,005 
RNL 3,126 
CADERNETA DE NIVELAMENTO CADERNETA DE CONTRANIVELAMENTO 
EXEMPLO 3 - POLIGONAL ABERTA Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
ES PV 
MIRA 
PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBS. RÉ 
[m] 
VANTE 
[m] 
ES1 
RNL 2,524 
12,524 
10,000 RNL = 
10,00m 
 
O perfil 
começa em 
P0 
 
Estacas 
principais a 
cada 20,00 m 
 
 
P0 1,304 11,220 
P1 1,210 11,314 
ES2 
P1 3,122 
14,436 
11,314 
P2 2,036 12,400 
P3 3,000 11,436 
P4 0,636 13,800 
ES3 
P4 2,840 
16,640 
13,800 
P5 1,600 13,800 
P6 1,520 15,120 
P7 1,420 15,220 
CADERNETA DE NIVELAMENTO 
RESOLUÇÃO: CALCULAR A CADERNETA DE NIVELAMENTO 
IDEM EXEMPLO 1 
EXEMPLO 3 - POLIGONAL ABERTA Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
ES PV 
MIRA 
PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBS. RÉ 
[m] 
VANTE 
[m] 
ES4 
P7 2,022 
17,243 
15,221 RNL = 10,00m 
 
O perfil 
começa em 
P0 
 
Estacas 
principais a 
cada 20,00 m 
 
 
P6 2,123 15,120 
P5 2,202 15,041 
P4 3,442 13,801 
ES5 
P4 1,231 
15,032 
13,801 
P3 3,594 11,438 
P2 2,631 12,401 
P1 3,717 11,315 
ES6 
P1 1,811 
13,126 
11,315 
P0 2,005 11,121 
RNL 3,126 10,000 
CADERNETA DE CONTRANIVELAMENTO 
RESOLUÇÃO: CALCULAR A CADERNETA DE CONTRANIVELAMENTO 
FÓRMULAS: PL = RN + FM 
 COTA = PL – FM 
 Cf – Ci =  VR - VVn 
 
PASSO 1: Calcular o PL com o aparelho na ES6 - o cálculo começa 
pela RN, ou seja, de baixo para cima: 
PL = 10,000 + 3,126 = 13,126 m (mesmo para as estacas P0 e P1) 
 
PASSO 2: Calcular as cotas dos pontos P0 e P1 (o PL é o da ES6): 
CP0 = 13,126 – 2,005 = 11,121 m 
CP1 = 13,126 – 1,811 = 11,315 m 
 
PASSO 3: Calcular o PL com o aparelho na ES5 (repetir a cota do 
ponto P1 da ES6): 
PL = 11,315 + 3,717 = 15,032 m (mesmo para as estacas P2 e P3) 
 
PASSO 4: Calcular as cotas dos pontos P2 e P3: 
CP2 = 15,032 – 2,631 = 12,401 m 
CP3 = 15,032 – 3,594 = 11,438 m 
PROSEGUIR COM OS CÁLCULOS, COMPLETAR A TABELA E 
VERIFICAR OS CÁLCULOS 
EXEMPLO 3 - POLIGONAL ABERTA Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
ES PV 
MIRA 
PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBS. RÉ 
[m] 
VANTE 
[m] 
ES1 
RNL 2,524 
12,524 
10,000 RNL = 
10,00m 
 
O perfil 
começa em 
P0 
 
Estacas 
principais a 
cada 20,00 m 
 
 
P0 1,304 11,220 
P1 1,210 11,314 
ES2 
P1 3,122 
14,436 
11,314 
P2 2,036 12,400 
P3 3,000 11,436 
P4 0,636 13,800 
ES3 
P4 2,840 
16,640 
13,800 
P5 1,600 13,800 
P6 1,520 15,120 
P7 1,420 15,220 
ES PV 
MIRA 
PL 
[m] 
COTAS 
[m] 
OBS. RÉ 
[m] 
VANTE 
[m] 
ES4 
P7 2,022 
17,243 
15,221 RNL = 10,00m 
 
O perfil 
começa em 
P0 
 
Estacas 
principais a 
cada 20,00 m 
 
 
P6 2,123 15,120 
P5 2,202 15,041 
P4 3,442 13,801 
ES5 
P4 1,231 
15,032 
13,801 
P3 3,594 11,438 
P2 2,631 12,401 
P1 3,717 11,315 
ES6 
P1 1,811 
13,126 
11,315 
P0 2,005 11,121 
RNL 3,126 10,000 
RESOLUÇÃO: 
CADERNETA DE NIVELAMENTO CADERNETA DE CONTRANIVELAMENTO 
EXEMPLO 3 - POLIGONAL ABERTA Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
TABELA DE COTAS 
RESOLUÇÃO: VERIFICAR SE O LEVANTAMENTO E ACEITÁVEL 
PASSO 1: Calcular o comprimento total do perfil: 
DHT = 140 m 
PV 
COTAS DE 
NIVELAMENTO 
[m] 
COTAS DE 
CONTRANIVELAMENT
O [m] 
DH 
AUMULADO 
[m] 
P0 11,220 11,222 0 
P1 11,314 11,316 20 
P2 12,400 12,402 40 
P3 11,436 11,439 60 
P4 13,800 13,803 80 
P5 15,040 15,042 100 
P6 15,120 15,120 120 
P7 15,220 15,222 140 
EXEMPLO 3 - POLIGONAL ABERTA Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
PV 
COTAS DE 
NIVELAMENTO 
[m] 
COTAS DE 
CONTRANIVELAMENTO 
[m] 
ERRO 
[m] 
P0 11,220 11,222 0,002 
P1 11,314 11,316 0,002 
P2 12,400 12,402 0,002 
P3 11,436 11,439 0,003 
P4 13,800 13,803 0,003 
P5 15,040 15,042 0,002 
P6 15,120 15,120 0,000 
P7 15,220 15,222 0,002 
TABELA DE COTAS 
PASSO 3: Calcular o erro cometido na operação de 
campo (em todas as estacas): 
eP0 = 11,220 – 11,222 = - 0,002 m 
eP1 = 11,314 – 11,316 = - 0,002 m 
eP0 = 11,220 – 11,222 = - 0,002 m 
 
PROSSEGUIR COM OS CÁLCULOS 
 
PASSO 4: Comparar os erros nas estacas com o 
aceitável (em todas as estacas): 
e < ea em todas as estacas – O LEVANTAMENTO 
ACEITÁVEL 
EXEMPLO 3 - POLIGONAL ABERTA Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
RESOLUÇÃO: VERIFICAR SE O LEVANTAMENTO E ACEITÁVEL 
TABELA DE COTAS 
RESOLUÇÃO: CALCULAR AS COTAS CORRIGIDAS - FINAIS 
PASSO 1: Calcular as cotas finais: 
CP0 = (11,220 + 11,222) / 2 = 11,221 m 
CP1 = (11,314 – 11,316) / 2 = 11,315 m 
CP2 = (12,400 – 12,402) / 2 = 12,401 m 
 
 
PROSEGUIR COM OS CÁLCULOS E 
COMPLETAR A TABELA 
EXEMPLO 3 - POLIGONAL ABERTA Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
PV 
COTAS DE 
NIVELAMENTO 
[m] 
COTAS DE 
CONTRANIVELAMENTO 
[m] 
ERRO 
[m] 
COTAS 
FINAIS 
[m] 
P0 11,220 11,222 0,002 11,221 
P1 11,314 11,316 0,002 11,315 
P2 12,400 12,402 0,002 12,401 
P3 11,436 11,439 0,003 11,438 
P4 13,800 13,803 0,003 13,801 
P5 15,040 15,042 0,002 15,041 
P6 15,120 15,120 0,000 15,120 
P7 15,220 15,222 0,002 15,221 
EXEMPLO 4. Caso o levantamento do exemplo 3 seja aceitável, desenhar o 
perfil em papel A3. 
Passo 1: Calcular a declividade do terreno: 
 
I = DN / DH x 100 = (Cfinal – Cinicial) / comprimento total do perfil 
 
I = (15,221 - 11,221) / 140 = 2,86% 
 
 
RESOLUÇÃO 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLO 4 - POLIGONAL ABERTA 
I ≤ 25%: EV = 10.EH 
Passo 2: Verificar o tamanho do papel recomendado: 
 
 Papel A3: 420 x 297 mm 
 
Passo 3: Calcular os módulos das escalas horizontal e vertical:Largura:  MH = 363,7 
 
 
 Altura:  MV = 15,5 
 
Passo 4: Escolher as escalas: 
 
 OBS. As largura e altura calculadas devem caber dentro do papel. 
 O ideal é que as escalas escolhidas tenham valores inteiros. 
 
 ESCALAS: EH = 1:400 e EV = 1:40 
RESOLUÇÃO: 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLOS 4 - POLIGONAL ABERTA 
Passo 4: Desenhar o perfil: 
Piquete P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 
 
DH [m] 20 20 20 20 20 20 20 
 
Cotas [m] 11,221 11,315 12,401 11,438 13,801 15,041 15,120 15,221 
 
EV = 1:40 
EH = 1:400 
Cotas Corrigidas 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLOS 4 - POLIGONAL ABERTA 
6.2. POLIGONAL FECHADA 
 
 6.2.1. CAMPO: idem POLIGONAL ABERTA passos de “a” a “f”. 
 
 6.2.2. ESCRITÓRIO: Idem POLIGONAL ABERTA passo “a”. 
 
 b. Avaliar a precisão do nivelamento: 
 
 b1. Calcular a tolerância para o erro de fechamento 
(erro admissível): 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL FECHADA – ESCRITÓRIO 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL FECHADA – ESCRITÓRIO 
 
b5. Calcular as cotas corrigidas (finais): Cfinal = Ccalculada ± ed 
 
b6. Verificar as cotas corrigidas: Cfinal = Cinicial 
 
b7. Preencher a TABELA DE COTAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PV RÉ 
[m] 
VANTE 
[m] 
PL 
[m] 
COTAS 
CALCULA
DAS 
[m] 
ed 
[m] 
COTAS 
CORRIGIDAS 
[m] 
Ponto visado: iniciar 
leitura em um ponto 
de cota conhecida e 
terminar a leitura no 
mesmo ponto 
Leitura do 
fio médio 
em um 
ponto de 
cota 
conhecida 
Leitura do fio 
médio em um 
ponto que se 
deseja 
determinar a 
cota 
Distância 
entre o plano 
formado pelo 
eixo ótico da 
luneta e o 
plano de 
referência 
Altitude ou 
altura 
Erro 
distribuído 
Soma ou 
diferença 
entre as cotas 
calculadas e 
ed 
MODELO DA TABELA DE COTAS 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL FECHADA – ESCRITÓRIO 
 
c. Representar topograficamente o perfil: idem POLIGONAL 
ABERTA. 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria POLIGONAL FECHADA – ESCRITÓRIO 
PV MIRA [m] PL 
[m] 
COTAS CALCULADAS 
[m] Ré Vante 
RNL 1,820 785,547 
A 3,725 
B 3,749 
B 0,833 
C 2,501 
D 2,034 
E 3,686 
F 3,990 
F 3,460 
G 0,305 
G 2,869 
RNL 0,934 785,547 
EXEMPLO 1. Dada a planilha de campo abaixo, calcular as cotas dos pontos, verificar o erro de 
fechamento e distribuir o erro determinando as cotas corrigidas. (Fonte: Silva & 
Sagantine, 2015). 
 
(Fonte: Silva & Sagantine, 2015) 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
TABELA 1: Dados coletados no campo 
EXEMPLO 1 - POLIGONAL FECHADA 
6.2.3. EXEMPLOS 
PV MIRA [m] PL 
[m] 
COTAS 
CALCULADAS 
[m] 
Ré Vante 
RNL 1,820 
787,367 
 
785,547 
A 3,725 783,642 
B 3,749 783,618 
B 0,833 
 
784,451 
783,618 
C 2,501 781,950 
D 2,034 782,417 
E 3,686 780,765 
F 3,990 780,461 
F 3,460 
 
783,921 
780,461 
G 0,305 783,616 
G 2,869 
 
786,485 
783,616 
RNL 0,934 785,551 
 
Passo1: Determinação do plano da luneta (PL) e das cotas (C): 
 
 TABELA 2. Cotas calculadas 
(Fonte: Silva & Sagantine, 2015) 
RESOLUÇÃO: 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLO 1- POLIGONAL FECHADA 
Passo2: Determinação do erro admissível: 
 
 Considerando que o perfil começa na RNL e que DHT = 200 m 
 
 ea = 4,5 mm 
 
Passo 3: Determinação do erro de fechamento: 
 
 e = Ccalculada - Cconhecida = 785,551 – 785,547 = 0,004m = 4mm 
 
 
Passo 4: Verificação da aceitabilidade do erro: e  ea  levantamento aceitável 
 
Passo 5. Determinação do “erro distribuição”: 
 
Mudou-se o aparelho 4 vezes de lugar, portanto: n = 4 
 
1o PL→ ed = 1 x e / n = 1 x 0,004 / 4 = 0,001 
2o PL→ ed = 2 x e / n = 2 x 0,004 / 4 = 0,002 
3o PL→ ed = 3 x e / n = 3 x 0,004 / 4 = 0,003 
4o PL→ ed = 4 x e / n = 4 x 0,004 / 4 = 0,004 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLO 1- POLIGONAL FECHADA 
PV MIRA [m] PL 
[m] 
COTAS 
CALCULADAS 
[m] 
ed 
[m] 
COTAS 
CORRIGIDAS 
[m] 
Ré Vante 
RNL 1,820 
787,367 
785,547 785,547 
A 3,725 783,642 - 0,001 783,641 
B 3,749 783,618 - 0,001 783,617 
B 0,833 
 
784,451 
783,618 
C 2,501 781,950 - 0,002 781,948 
D 2,034 782,417 - 0,002 782,415 
E 3,686 780,765 - 0,002 780,763 
F 3,990 780,461 - 0,002 780,459 
F 3,460 
783,921 
780,461 
G 0,305 783,616 - 0,003 783,613 
G 2,869 
786,485 
783,616 
RNL 0,934 785,551 - 0,004 785,547 
Passo 6: Distribuição do erro e determinação das cotas corrigidas: 
 
OBS. O erro é distribuído somente nas visadas de vante; 
 Como o erro foi para mais, subtrair o “ed - erro de distribuição” em cada plano da luneta. 
 
Verificação (coluna 
das cotas corrigidas): 
 
Cfinal = Cinicial 
 
785,547 = 785,547 
(Fonte: Silva & Sagantine, 2015) 
TABELA 3. Erro e cotas corrigidas 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLO 1 - POLIGONAL FECHADA 
Exemplo 2. Caso o levantamento do exercício 1 seja aceitável, representar o perfil do 
exemplo 4 nas escalas: EH = 1:1.000 e EV = 1:100. 
RESOLUÇÃO 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLO 2– TAMANHO DO PAPEL 
Passo 3: Representação do perfil: 
Piquete RNL A B C D E F G 
 
DH [m] 20 20 20 20 20 20 20 
 
Cotas [m] 785,547 783,641 783,617 681,948 782,415 780,763 780,459 783,613 
 
EV = 1:100 
EH = 1:1.000 
Cotas Corrigidas 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLO 2 – TAMANHO DO PAPEL 
7. FONTES DE ERRO EM UM NIVELAMENTO 
GEOMÉTRICO 
 
 
 Nível com calagem imperfeita; 
 Mira topográfica fora da vertical; 
 Erro de leitura da mira; 
 Erro devido a esfericidade e refração da terra; 
 
 
 
 
 
 
 
Efeito resultante da curvatura da terra Fenômeno físico que ocorre quando os raios de luz 
atravessam o ar, que é formado por camadas de 
densidades distintas, desviando-os de sua 
trajetória retilíneas, curvando-os para baixo. 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria FONTES DE ERRO 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria FONTES DE ERRO 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria 
REFRAÇÃO + ESFERICIDADE 
FONTES DE ERRO 
7.1. EXEMPLOS 
1. Qual o erro resultante da combinação entre esfericidade e refração atmosférica para uma 
distância de leituraigual a 1.500,00 m? 
RESOLUÇÃO 
 
eer = 6,6 . 10
-8 . D2 = 6,6 . 10-8 . 1.5002 = 0,15 m = 15 cm 
2. Com relação ao exercício 4, calcular a DNV sabendo que a DNA = 35,00 m 
RESOLUÇÃO 
 
DNV = DNA + eer = 35 + 0,15 = 35,15 m 
 
Profa. Mirléia Aparecida de Carvalho – GEA 104 – Topografia/Altimetria EXEMPLOS - FONTES DE ERRO FONTES DE ERRO 
 
 
 
 
Mirléia Aparecida de Carvalho 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Lavras 
Departamento de Engenharia Agrícola 
 
 
Campus Universitário 
Caixa postal 3037 
CEP: 37200-000 -- LAVRAS, MG 
 
 
fone: (35) 3829-1533 
fax: (35) 3829-1481 
 
 
e-mail: mirleia@ufla.br 
www.dea.ufla.br 
mailto:mirleia@deg.ufla.br
http://www.deg.ufla.br/