gabarito_20081

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O
A
B
H
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO – CCEN – ÁREA II
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – 1º SEMESTRE DE 2008
RESOLUÇÃO DO 1º EXERCÍCIO DE GEOMETRIA ANALÍTICA
TURMAS V1, V2 e FC
Abril de 2008
Na questão 1, considere um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no
espaço tridimensional (xyz).
1. Considere os pontos  0,0,0O ,  1,2,2A ,  3,0,4B e  4, 2,4C
a. Mostre que os pontos O , A e B são vértices de um triângulo e calcule a
sua área. (peso 2,0)
SOLUÇÃO
Para provar que os pontos O , A e B são vértices do triângulo OAB , basta
observar que os vetores   1,2,2OA e   3,0,4OB não são colineares (o
vetor

OB possui uma coordenada 0!).
A medida da área do triângulo OAB pode ser dada por:
 1
x
2
OA OB .
Temos:       
  
    
x 1 2 2 8 2 6 8,2, 6
3 0 4
i j k
OA OB i j k . Portanto, a medida
da área do triângulo OAB é igual a        22 21 18,2, 6 8 2 6 26
2 2
.
b. Escreva as coordenadas do ponto H , o pé da perpendicular baixada do
vértice A ao lado OB do triângulo OAB . (peso 2,0)
SOLUÇÃO
Podemos deduzir, observando a figura ao lado,
que o ponto H é tal que 



OA
OB
OH Proj .
Desse modo,          


  11 33 443,0,4 ,0,
25 25 25
OA
OB
OA OB
OH Proj OB
OB OB
.
Portanto,
 
  
33 44
,0,
25 25
H , pelo fato de que as coordenadas do vetor

OH
coincidem com as coordenadas do ponto H .
c. Mostre que os pontos O , A, B e C não são coplanares e calcule o
volume do tetraedro OABC . (peso 2,0)
SOLUÇÃO
A não coplanaridade dos pontos O , A , B e C , pode ser comprovada pela não
coplanaridade dos vetores   1,2,2OA ,   3,0,4OB e    4, 2,4OC . Isto
é feito provando-se que o produto misto desses vetores é não nulo:
   

   1 2 2
x 3 0 4 4
4 2 4
OA OB OC .
A medida do volume do tetraedro OABC pode ser dada por:
     1 1 2x 46 6 3OA OB OC .
Na questão 2, considere um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no
plano (xoy).
2. Considere os pontos  1,3P ,  0,2Q e  3,4R .
a. Determine o ângulo agudo formado pela reta que passa pelos pontos P
e Q e a reta que passa pelos pontos P e R . (peso 2,0)
SOLUÇÃO
A reta que passa pelos pontos P e Q tem vetor diretor dado por    1, 1PQ .
Enquanto que, a reta que passa pelos pontos P e R , tem vetor diretor dado por
  2,1PR . Assim, o ângulo (agudo)  entre as retas é tal que

   

 3 3
2 5 10
PQ PR
cos
PQ PR
.
b. Sabendo que o sistema xoy foi rotacionado de um ângulo , tal que
  
1
3
arcsen , escreva as coordenadas do ponto P no sistema
rotacionado x’oy'. (peso 2,0)
SOLUÇÃO
A rotação do sistema xoy foi de um ângulo , tal que   
1
3
arcsen . Logo,
1
3
sen e          
2
2 2 1 81 1
3 9
cos sen . Como  é um ângulo do
primeiro quadrante,  8 2 2
9 3
cos .
Têm-se as equações de mudança de coordenadas entre os sistemas xoy e o
sistema rotacionado x’oy':
 
 
  
   
x x cos y s en
y x sen y cos . Portanto, conhecendo-se os
valores de sen e de cos , as equações de mudança de coordenadas são:
   
   
2 2 1
3 3
1 2 2
3 3
x x y
y x y
. Tomando as coordenadas do ponto P , 1x e 3y , e
resolvendo o sistema para x e y , resulta: 3 2 2
3
x e
1 6 2
3
y .
Estas são as coordenadas do ponto P no sistema x’oy'.'
Com a certeza do sucesso de todos, até o 2º Exercício!!!
Professores Adriano Pedrosa, Armando Cavalcanti e Paulo Figueiredo