Geometria_descritiva_Unid_II

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2 ALFABETO DA RETA
Estudaremos agora a forma de se projetar na épura as 
diferentes retas.
Uma reta r, quando projetada no plano horizontal, recebe o 
nome de r1 e, quando projetada no plano vertical, recebe o nome 
de r2. Um ponto qualquer P que pertença a r, implica que P1 (sua 
projeção no PH) pertencerá a r1, enquanto P2, (sua projeção em 
PV) pertencerá a r2.
Para projetarmos uma reta r na épura, precisamos projetar 
dois pontos contidos em r em PH e PV e uni-los para construir 
r1 e r2.
2.1 Épura de uma reta qualquer
Como dissemos anteriormente precisamos projetar dois 
pontos da reta r para poder traçar sua épura.
PV
r2
r
PH
LT
A = A2
A0 = A1r1 B = B1
B0 = B2
LT
r2
A2
A1 = A0B0 = B2
r1
B1
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2.2 Épura de uma reta horizontal
Chamamos de reta horizontal toda e qualquer reta que seja 
paralela ao PH ou que nele esteja contida.
PV
L T PH
rr2
V2 B
V1 r1
Todo ponto pertencente a r possui a mesma cota, logo, 
obtemos:
r2// LT
Conforme podemos constatar na seguinte épura:
V2
V1
LT
B
r2
r1Épura de uma reta horizontal
2.3 Épura de uma reta frontal
Chamamos de reta frontal toda e qualquer reta que seja 
paralela ao PV ou que nele esteja contido.
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LT
r1
rr2
B2 B
B0 B1
A1A0
A2 A
A1
A0
B1
B0
B2
r2
A2
LT
r1
Épura de uma reta frontal
Todo ponto pertencente a r possui o mesmo afastamento, 
logo, obtemos:
r1// LT
Repare que se a reta r estiver contida em PV, a projeção 
de r no plano horizontal r1 será coincidente com LT (linha de 
terra).
2.4 Épura de uma reta fronto-horizontal
Chamamos de reta fronto-horizontal toda e qualquer reta 
que seja paralela à LT.
LT
r1
r
r2
B2 B
B0 B1
A1A0
A2 A
A1
A0
B1
B0
B2
r2
A2
LT
r1
Épura de uma reta fronto-horizontal
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Observe que:
• Quando uma reta é fronto-horizontal, suas projeções em 
épura serão sempre paralelas à LT.
• Toda reta fronto-horizontal é frontal e horizontal.
2.5 Épura de uma reta vertical
Chamamos de reta vertical toda e qualquer reta que seja 
perpendicular ao PH. Observe que a projeção em PH é um 
ponto.
B
A0 = B0
LT
Épura de uma reta vertical
r1 = A1 = B1
A0 = B0
B2
r2 r
AA2
r1 = A1 = B1
B2
A2
r2
2.6 Épura de uma reta de topo
Chamamos de reta de topo toda e qualquer reta que seja 
perpendicular ao PV. Observe que a projeção em PV é um 
ponto.
r1
rB
B1A1A0 = B0
A
B1
LT
r1
Épura de uma reta de topo
r2 = A2 = B2
A1
r2 = A2 = B2
A0 = B0
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2.7 Épura de uma reta de perfil
Chamamos de reta de topo toda e qualquer reta que seja 
ortogonal à LT e que não seja horizontal nem frontal.
r1
B
A0 = B0
LT
Épura de uma reta de perfil
A0 = B0
B2
r2
r
A
A2 r1 = r2
B2
A2
LT
A1 B1
A1
B1
Observe que:
• Toda reta de perfil projeta sobre PH e PV retas 
perpendiculares à LT.
• Na épura tais projeções são coincidentes.
3 ALFABETO DO PLANO
Estudaremos agora as posições possíveis que um plano pode 
apresentar em relação aos planos de projeção.
O raciocínio empregado será análogo ao utilizado até o 
momento. Para determinar a projeção de um plano α na épura, 
utilizaremos os traços referentes a tal plano. Os traços são as 
retas de intersecção do plano α com os planos de projeção.
Se um plano tem os dois traços distintos, ou os traços são 
concorrentes num ponto pertencente à LT ou são paralelos à 
LT.
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PV
tvα
thα
PH
PV
tvα
thα
PH
αα
Onde:
• α é o plano α.
• thα é o traço de α no plano horizontal.
• tvα é o traço de α no plano vertical.
3.1 Plano horizontal
Chamamos de plano horizontal todo plano paralelo ou 
coincidente ao plano horizontal.
tvα α
PH
PV
Observe que:
• A épura de um plano horizontal contém apenas traço 
vertical, o qual é paralelo ou coincidente à LT.
• Todos os pontos têm a mesma cota.
tvα
LT
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3.2 Plano frontal
O plano frontal é qualquer plano paralelo ao plano vertical 
ou coincidente a ele.
α
PH
PV
LT
thα
Observe que:
• A épura de um plano frontal contém apenas traço 
horizontal, o qual é paralelo ou coincidente à LT.
• Todos os pontos têm o mesmo afastamento.
thα
LT
3.3 Plano de topo
Chamamos de plano de topo a todo plano que seja 
perpendicular ao plano vertical.
tvα
PV
LT
α
thα
PH
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Observe que:
• Um plano horizontal é um caso particular do plano de 
topo.
• Seu traço horizontal é perpendicular à LT.
• Qualquer figura contida em um plano de topo tem sua 
projeção vertical contida no traço vertical.
LT
tvα
thα
3.4 Plano vertical
Chamamos de plano vertical todo plano perpendicular ao 
plano horizontal.
PV
LT
α
thα
PH
tvα
Observe que:
• O plano frontal é um caso particular do plano vertical.
• Seu traço vertical é perpendicular à LT.
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• Toda figura contida em um plano vertical tem sua projeção 
horizontal contida no traço horizontal.
thα
tvα
LT
3.5 Plano de perfil
É todo e qualquer plano perpendicular à linha de terra.
PV
LT
α
thα
PH
tvα
Observe que:
• O plano de perfil é um caso particular de plano vertical e 
de topo.
• Os traços vertical e horizontal de um plano de perfil 
coincidem e são perpendiculares à LT.
• Qualquer figura contida em um plano de perfil tem suas 
projeções contidas nos respectivos traços.
LT
tvα = thα
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3.6 Plano bissetor
É todo e qualquer plano que divide em duas partes iguais 
um diedro. Tendo como base o primeiro diedro, obtemos as 
seguintes projeções:
PV
α
LT
PH
45º
45º
Um plano bissetor, quando projetado na épura, sempre terá 
seus traços coincidentes com a linha de terra (LT).
LT = thα = tvα 
Questões comentadas
1) Dado o plano abaixo, a alternativa que melhor representa 
é a:
A≡A2
B≡B1
A1B2
M≡M2≡M1
α
π2
π1
sα≡sα1
tα≡tα2
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a) Ponto A é igual a A2.
b) Na Linha da Terra, temos somente os pontos A1 e B2.
c) Na épura apresentará um ponto M acima da Linha da 
Terra.
d) O t� é semelhante a t�2.
e) Não existe a Linha da Terra.
Resposta: d) O traço t�, por estar no plano π2, não será igual 
a t�2, mas sim semelhante.
2) Sobre o plano abaixo, todas as alternativas são verdadeira, 
exceto:
π2s
π1P
π2I
π1A
α
tα2I
Sα1A
M
Sα1P
tα2S
2º diedro 1º diedro
4º diedro3º diedro
a) Trata-se de três planos.
b) Existem apenas três diedros.
c) O ponto M está exatamente no meio entre os três 
planos.
d) Na épura há um ponto acima de M.
e) Na épura há linhas cruzadas.
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Resposta: d) O único ponto desta figura é o ponto M, que 
está na Linha da Terra. Logo, sua épura será lá mesmo.
3) Como ficará a épura se a linha contiver os pontos A, B e C?
a) Formará um triângulo.
b) Formará uma linha acima da Linha da Terra.
c) Impossível.
d) Ponto “A” semelhante a “B”, que é semelhante a “C”.
e) Não haverá mudanças.
Resposta: e) Se os pontos já estão na Linha da Terra, não 
haverá mudanças na épura.
4) No plano abaixo, observese:
A2
B2
C2
π2
C
B
A
tω
C1
A1
B1
V.G.
π1
ω
a) Representa uma épura em VG na qual se observa um 
triângulo A1B1C1 na Linha da Terra.
b) Planos ABC são projetados em �.
c) Sua épura é um triângulo A1B1C1 abaixo da Linha da 
Terra e A2B2C2 acima da Linha da Terra.
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d) Não existe projeção.
e) Projeção é somente em VG.
A2 B2 C2
A1
C1
B1
V.G.
tω2
Resposta: c).
5) Como será a épura da figura abaixo?
C
Sϕ
π2
E1
C1
D1
E
D
E2
C2
D2
π1
ϕ
a) 
Sϕ1
C2
D2 E2
D1 C1 E1
V.G.
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b) 
Sα1P
Tα2S
Tα2I 1A
M2≡M1
c) 
A2
B2
A1
B1
d) 
B1
B2
A2≡A1
r2
r1
e) 
B1
B2
C2
C1
A1
A2
tψ2
Sψ1
α̂ em V.G.
Resposta: a) Plano ϕ é paralelo ao π2.
6) Quando há presença de um plano bissetor. qual(is) o(s) 
ângulo(s) formado(s) no(s) diedros?
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ºC ºA
π25
π1A
π1P
π2i
βp
βi
βp
2º diedro 1º diedroβi
4º diedro3º diedro
a) 90º.
b) 90º e 75º.
c) 50º e 25º.
d) 45º.
e) 45º e 90º.
Resposta: d) Somente 45º, que é, na verdade, metade de 
90º, pois os planos bissetores cortam os diedros ao meio.
7) Um plano de topo apresenta o ponto “K” na interseção do 
ponto π1. Onde estará o K na épura?
a) Na Linha da Terra.
b) Acima da Linha da Terra.
c) Abaixo da Linha da Terra.
d) No próprio plano.
e) Em lugar nenhum.
Resposta: a) na Linha da Terra, pois a projeção no plano π2 
será na Linha da Terra.
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8) Como será a épura de um triângulo localizado no plano 
de topo?
a) 
β̂ em V.G.
D2
Tλ2 E2
C2
C1
D1
E1 Sλ1
b) 
A2
A1
B2
B1
Tσ2
Tσ1
c) 
A2
M2≡M1 B2
A1
B1
tα2
tα1≡sα2
sα1
d) 
B1
B2
C2
C1
A1
A2
tψ2
Sψ1
α̂ em V.G.
e) 
Sα1P
Tα2S
Tα2I 1A
M2≡M1
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Resposta: d) Plano é representado pela t�2, onde se localiza 
o triângulo, sua projeção no plano π1 encontra-se abaixo da 
Linha da Terra.
9) Observe a figura abaixo e assinale a alternativa incorreta:
π2
π1
Sαα
tα
A
D
B
MC
45º
45º
45º
a) �MDA (π2) = �MDB (π1).
b) �DCA = �DCB.
c) �AMB = �ADB.
d) ABC são pontos no plano �.
e) O plano bissetor possui uma reta CM.
Resposta: c) �ADB possui um ângulo de 90º, enquanto o �AMB 
apresenta os ângulos menores que 90º. Não é possível dizer que 
estes triângulos sejam semelhantes.
10) Considere a figura abaixo e assinale a alternativa que 
não condiz com os planos bissetores:
ºC ºA
π25
π1A
π1P
π2i
βp
βi
βp
2º diedro 1º diedroβi
4º diedro3º diedro
45º
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a) O plano �I bissetor do 1º e 3º diedros, que é chamado de 
1º bissetor, plano de simetria ou bissetor ímpar.
b) O plano �P bissetor do 2º e 4º diedros, que é chamado 
de 2º bissetor, plano de coincidência ou bissetor par.
c) Na mongeana, o bissetor, sendo os planos de projeção 
ortogonais entre si, conterá a Linha da Terra e formará 
ângulos de 45º com os mesmos.
d) O plano �I pode cruzar com o plano �P fora da Linha da 
Terra.
e) Todas as alternativas estão corretas.
Resposta: d) Se não cruzar na Linha da Terra, não forma 
ângulos de 45º.
Questões da unidade II
1. O que é o alfabeto da reta?
a) Estudo das projeções em épura de figuras planas.
b) Estudo das projeções de pontos na épura.
c) Estudo das projeções de retas na épura.
d) Estudo dos diedros.
e) Estudo das projeções das retas de a a z.
2. Para fazer a projeção de uma reta na épura devemos:
a) Projetar os traços da reta nos planos de projeção e 
rotacionar o plano horizontal sobre o plano vertical no 
sentido horário.
b) Projetar os traços da reta nos planos de projeção e 
rotacionar o plano horizontal sobre o plano vertical no 
sentido anti-horário.
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c) Projetar todos os pontos da reta sobre o eixo x e 
rotacioná-lo sobre o eixo y no sentido horário.
d) Projetar todos os pontos da reta sobre o eixo x e 
rotacioná-lo sobre o eixo y no sentido anti-horário.
e) Traçar aleatoriamente a reta sobre um dos planos.
3. No estudo do alfabeto da reta, classificamos as retas em:
a) Reta coincidente, reta qualquer, reta de rampa, reta 
paralela e reta perpendicular.
b) Reta coincidente, reta bissetriz, reta de rampa, reta 
paralela e reta perpendicular.
c) Reta qualquer, reta horizontal, reta frontal, reta 
fronto-horizontal, reta vertical, reta de topo e reta de 
perfil.
d) Reta qualquer, reta horizontal, reta frontal, reta 
fronto-vertical, reta vertical, reta de topo e reta de 
perfil.
e) Reta qualquer, reta horizontal, reta frontal, reta 
fronto-horizontal, reta horto-vertical, reta de topo e 
reta de perfil.
4. A figura a seguir é a épura de que tipo de reta?
LT
a) Reta qualquer.
b) Reta horizontal.
c) Reta frontal.
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d) Reta fronto-horizontal.
e) Reta vertical.
5. A figura a seguir é a épura de que tipo de reta?
LT
a) Reta qualquer.
b) Reta horizontal.
c) Reta frontal.
d) Reta fronto-horizontal.
e) Reta vertical.
6. A figura a seguir é a épura de que tipo de reta?
LT
a) Reta de perfil.
b) Reta horizontal.
c) Reta frontal.
d) Reta fronto-horizontal.
e) Reta vertical.
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7. A figura a seguir é a épura de que tipo de reta?
LT
a) Reta de perfil.
b) Reta horizontal.
c) Reta frontal.
d) Reta fronto-horizontal.
e) Reta vertical.
8. A figura a seguir é a épura de que tipo de reta?
LT
a) Reta de perfil.
b) Reta horizontal.
c) Reta frontal.
d) Reta fronto-horizontal.
e) Reta vertical.
9. A figura a seguir é a épura de que tipo de reta?
LT = r1
r2
a) Reta de perfil.
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b) Reta horizontal.
c) Reta frontal.
d) Reta fronto-horizontal.
e) Reta vertical.
10. Uma reta r horizontal terá sempre em sua épura:
a) r1 paralela a LT.
b) r1 paralela a r2.
c) r perpendicular a s.
d) s perpendicular a LT.
e) r2 paralela a LT.
Respostas das questões
Questão 1: c.
Comentário: o alfabeto da reta é o estudo de todos os 
possíveis casos de projeção de retas na épura.
Questão 2: a.
Comentário: para traçar a épura de uma reta r, basta 
encontrar seus traços nos planos de projeção e realizar o 
movimento necessário de plano horizontal em relação ao 
plano vertical.
Questão 3: c.
Comentário: para facilitar o estudo das projeções de retas 
na épura, Monge criou a seguinte sistematização: reta qualquer, 
reta horizontal, reta frontal, reta fronto-horizontal, reta vertical, 
reta de topo e reta de perfil.
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Questão 4: a
Comentário: podemos descobrir a qual reta reporta essa épura 
realizando o raciocínio inverso ao executado na construção da 
épura, chegando então a uma reta que não se inclui em nenhum 
dos tipos arrolados, ou seja, uma reta qualquer.
Questão 5: b.
Comentário: podemos descobrir a qual reta reporta essa épura 
realizando o raciocínio inverso ao executado na construção da 
épura, chegando então a uma reta horizontal.
Questão 6: c.
Comentário: podemos descobrir a qual reta reporta essa épura 
realizando o raciocínio inverso ao executado na construção da 
épura, chegando então a uma reta frontal.
Questão 7: d.
Comentário: podemos descobrir a qual reta reporta essa épurarealizando o raciocínio inverso ao executado na construção da 
épura, chegando então a uma reta fronto-horizontal.
Questão 8: e.
Comentário: podemos descobrir a qual reta reporta essa épura 
realizando o raciocínio inverso ao executado na construção da 
épura, chegando então a uma reta vertical.
Questão 9: c.
Comentário: podemos descobrir a qual reta reporta essa épura 
realizando o raciocínio inverso ao executado na construção da 
épura, chegando então a uma reta frontal.
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Questão 10: e.
Comentário: sempre que tivermos uma reta r horizontal, sua 
projeção na épura terá sempre r2 paralela a LT.