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Filtros 
 mbj - 1- 
APÊNDICE – A3 
 
 
 
 
Introdução ao estudo de Filtros 
Família de Respostas 
 
Marcelo Basilio Joaquim - 2004 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução 
 
 Os filtros pertencem a uma classe muito importante de sistemas lineares invariantes no tempo, cuja 
função primária é selecionar, com pouca ou nenhuma atenuação, determinadas componentes de freqüência e 
rejeitar ou remover todas as outras componentes indesejáveis de um sinal. Tais filtros são chamados de filtros 
seletivos em freqüência. Em um contexto mais amplo define-se um filtro como um dispositivo que modifica 
as componentes de freqüência de um sinal aplicado em sua entrada. 
 
 Os filtros são utilizados onde há necessidade da redução do ruído e em equalização de sinais. O campo de 
aplicação é extenso, eles são aplicados em telefonia, sistemas de televisão e áudio, radar sonar, controle, isto 
é, em todas as áreas onde há alguma forma de processamento de sinais. 
 
 Existem duas classes principais de filtros, os analógicos e os digitais. Os filtros analógicos utilizam 
componentes eletrônicos tais como resistores, capacitores, indutores e amplificadores operacionais para se 
construí-lo. Os filtros digitais utilizam um processador digital para realizar cálculos numéricos relativos à 
filtragem em um sinal amostrado. Sendo assim, além de incorporarem as vantagens do processamento digital, 
eles são facilmente projetados e implementados. 
 
 Neste capítulo serão descritas as famílias de filtros para o projeto de filtros seletivos em freqüência. Elas 
são utilizadas tanto no projeto de filtros analógicos quanto para os filtros digitais com o objetivo de 
aproximar a resposta em freqüência de um filtro ideal. As características desejadas são especificadas pela 
resposta de amplitude e de fase ou pela função de transferência. O objetivo é encontrar os coeficientes αi e βi 
que determinam a função de transferência do filtro. 
 
 
2. Definições preliminares 
 
 Um filtro seletivo em freqüência é um sistema linear invariante no tempo, assim, ele pode ser 
representado pelo diagrama de blocos da figura 1, em que x(t) é o sinal de entrada e y(t) o de saída. 
 
 
Filtro x(t) y(t) 
 
 
Figura 1: Filtro como um sistema linear. 
 
 Utilizando a transformada de Laplace, a relação entre entrada e saída do sistema é dada por: 
Filtros 
 mbj - 2- 
 ( ) ( ) ( )sXsHsY = (1) 
 
em que H(s) é chamada de função de transferência do sistema, ou simplesmente função do sistema. 
 
 Admitindo s = jΩ, em que Ω é a freqüência angular em rad/s, tem-se que: 
 ( ) ( ) ( )ΩΩ=Ω jXjHjY (2) 
 
 Neste caso H(jΩ) é chamada de resposta em freqüência do sistema. Ela é uma função complexa que tanto 
pode ser escrita na forma retangular como na polar. Na forma polar, H(jΩ) é expressa em termos de sua 
magnitude e fase tal que: 
 
( ) ( ) ( )ΩφΩ=Ω jjejHjH (3) 
 
em que ( )ΩjH é a resposta de amplitude e ( )Ωφ j é a fase. 
 
 A resposta de amplitude é uma função adimensional e principalmente quando desenhada, ela é expressa 
em escala logarítmica, decibels (dB), isto é, 
 ( ) ( )Ω=Ω jHlogjH dB 1020 (4) 
 
e a fase é expressa em graus ou então em radianos. 
 
 No projeto de um filtro algumas especificações são dadas em função da atenuação. A atenuação é 
definida como a função inversa da resposta em freqüência H(jΩ). Assim, 
 
( ) ( )Ω=Ω jHjA
1 (5) 
 
ou, em decibels, 
 ( ) ( )Ω−=Ω jHlogjA dB 1020 (6) 
 
 
Exemplo 1: Representação polar do circuito RC da figura 2: 
 
 
 
R 
C x(t) y(t)
 
 
Figura 2: Circuito RC 
 
 Neste caso a resposta em freqüência é dada por: 
 
( )
RCj
jH Ω+=Ω 1
1 
 
Filtros 
 mbj - 3- 
 Na forma polar as respostas de amplitude e de fase serão: 
 
( ) ( ) ( ) ( )RCarctanHeRCjH Ω−=Ω∠Ω+=Ω 21
1 
 
 A figura 3, ilustra o comportamento da magnitude e da fase em função da freqüência deste filtro RC. 
Note na figura que a partir de ΩRC = 1 a resposta de amplitude (magnitude) começa a decair, atenuando ou 
rejeitando os componentes de freqüência acima de Ω = 1/RC. Esta freqüência é usada indicar as bandas de 
passagem e de rejeição ou atenuação. 
 
0 
-10 
-20 
-30 
10-1 100 101 102 10-1 100 101 1020
-π/4
-π/2
Resposta de amplitude Resposta de fase 
ΩRC ΩRC 
(a) (b) 
 
Figura 3: Resposta de amplitude e fase. 
 
 Em razão da resposta de amplitude decair com o aumento da freqüência, a partir de ΩRC = 1, este 
circuito é conhecido como filtro passa-baixas com freqüência de corte Ωc = 1/RC ou freqüência de meia 
potência pois, 
 
( )
2
12
1 =Ω =Ω RC/jH 
 
 
3. Tipos de Filtros 
 
 O filtro seletivo em freqüência é aquele que deixa passar os sinais cujas freqüências estão em 
determinadas bandas ou faixas (banda de passagem) e rejeita ou atenua as freqüências que estão em outras 
bandas (bandas de atenuação ou de rejeição ou de parada). A forma da resposta de amplitude (a magnitude) 
classifica o filtro de acordo com a localização das bandas de passagem e de rejeição. Se o filtro for ideal 
(observe a figura 4) as bandas de passagem e de rejeição são planas e a transição entre elas apresenta uma 
inclinação infinita. Desse modo pode-se obter os seguintes tipos de filtros: passa-baixas, passa-altas, passa-
banda ou passa-faixa, rejeita-banda e passa tudo. 
 
 O filtro passa-baixa, figura 4.a, apresenta ganho 1 paras freqüências entre 0 e Ωc (banda de passagem) e 
ganho zero acima desta freqüência. Assim, os componentes de freqüência acima de Ωc de um sinal aplicado 
em sua entrada são eliminados na saída. O filtro passa-alta, figura 4.b, apresenta comportamento oposto ao do 
filtro passa-baixa, isto é, apresenta ganho nulo paras freqüências entre 0 e Ωc e ganho unitário acima desta 
freqüência. O filtro passa-banda, figura 4.c, apresenta ganho 1 paras freqüências entre Ωc1 e Ωc1 (banda de 
passagem) e ganho zero fora desta faixa de freqüências, e o filtro rejeita-banda apresenta comportamento 
oposto, como mostra a figura 4d. O filtro passa-tudo, não altera as amplitudes dos componentes do sinal, eles 
são utilizados quando se quer alterar somente a fase destes componentes. 
 
Filtros 
 mbj - 4- 
 
Ω
|H(jΩ) 
Ω
Ω
Ω
Ω
|H(jΩ) 
|H(jΩ) |H(jΩ) 
|H(jΩ) 
(a) passa-baixa (b) passa-alta 
(c) passa-banda (d) rejeita-banda 
(e) passa-tudo 
Ωc Ωc 
Ωc1 Ωc2 Ωc1 Ωc2 
1 
 
0 
1
0
1 
 
0 
1
0
1 
 
0 
 
 
Figura 4: Tipos de filtros 
 
 
 O comportamento ideal de um filtro é fisicamente irrealizável, pois as redes elétricas práticas apresentam 
uma função de transferência que é uma razão de dois polinômios e portanto não possuem descontinuidades, 
veja o exemplo 1. A figura 5 mostra a resposta de um filtro passa-baixas ideal juntamente com uma 
aproximação realizável deste filtro. 
 
 
0 Ωc Ωs 
0.7 
1 
ΩΩp
irrealizável 
realizável 
|H(jΩ)| 
 
Figura 5: Resposta de amplitude de um filtro realizável 
 
 
 A resposta do filtro passa-baixas ideal com fase nula é dada por: 
 
 ( ) 


Ω>Ω
Ω<Ω=Ω
c
c
,
,
jH
0
1
 (7) 
 
 A banda de passagem está limitada entre 0 e Ωc, onde o filtro apresenta ganho constante (resposta plana) 
e a banda de rejeição ou de parada, onde o ganho é nulo, está acima de Ωc. Para o filtro realizável são 
Filtros 
 mbj - 5- 
definidas três bandas: a de passagem, a de atenuação e a de transição. A banda de passagem apresenta ganho 
aproximadamente constante. Na banda de transição define-se a freqüência de corte no ponto em que |H(jΩc)| 
vale 707021 ./ = de seu valor máximo na banda de passagem. Esta freqüência é chamada de ponto de meia 
potência. Observe que ( ) dB/log 32120 −= , assim Ωc é a freqüência onde há uma perda de 3 dB em relação 
ao seu valor máximo ou valor da banda de passagem. 
 
 
4. Função do Sistema 
 
 Um filtro analógicorealizável e contínuo no tempo pode ser representado, no domínio da freqüência, por 
uma função do sistema que é a razão entre dois polinômios. 
 
( )
∑
∑
=
=
α
β
= N
k
k
k
M
k
k
k
s
s
sH
0
0 (8) 
 
em que: αk e βk são os coeficientes constantes do filtro, N é ordem do filtro que corresponde ao maior grau do 
denominador, e s o operador de Laplace. 
 
- A maior potência (M) do numerador define o número de zeros da função de transferência. 
- A maior potência (N) do denominador define o número de pólos de H(s) e é referida como a ordem 
do filtro. O valor de N define a seletividade da função de transferência, isto é, a taxa de atenuação na 
banda de transição. 
 
 A transformada de Laplace inversa da função do sistema fornece uma outra forma de representação de um 
filtro, isto é, através da sua resposta ao impulso. 
 
∫
∞+σ
∞−σπ
=
j
j
st
aa dsesHj
th )(
2
1)( (9) 
 
 Nas páginas seguintes, serão estudadas as respostas em freqüência mais importantes e mais utilizadas nos 
projetos de filtros. São elas: resposta de Butterwoth, Chebyshev, Cauer ou elíptico e Bessel. Estas respostas 
são realizadas a partir de funções de transferência que são uma razão entre dois polinômios. As famílias, aqui 
discutidas, são apresentadas para os protótipos passa-baixas, os outros tipos de filtros podem ser facilmente 
obtidos por transformação de freqüências. 
 
 
5. Resposta de Butterworth 
 
 Sabendo-se que a característica de amplitude de um filtro ideal é plana na faixa de passagem, o filtro ou 
resposta de Buterworth tenta aproximar esta característica através de uma função polinomial, no domínio da 
freqüência, de modo que ela seja plana na faixa de passagem. Assim, este filtro é caracterizado por uma 
resposta de amplitude que é maximamente plana na faixa de passagem (figura 6.a) e por uma resposta 
decrescente na banda de rejeição, acima da freqüência de corte Ωc. O módulo ao quadrado da sua função de 
transferência é definido como: 
 
Filtros 
 mbj - 6- 
( )
N
c
N
c
s
jH




Ω
−+
=




Ω
Ω+
=Ω
2
22
2
1
1
1
1 (10) 
 
em que: Ωc é a freqüência de corte do filtro (queda de 3 dB na banda de passagem) e N é a ordem do filtro e s 
= jΩ. 
 
Admitindo Ωn = Ω/Ωc na equação (10), as seguintes propriedades podem ser observadas: 
 
1. ( ) 10 ==ΩnH , isto é, ganho igual 1 na faixa de passagem. Para um ganho diferente da unidade basta 
multiplicar a equação (10) pelo ganho desejado. 
 
2. 7070
2
11 .)(H == , freqüência de corte igual a 1 rad/s., como conseqüência da normalização em 
freqüência. 
 
3. Expandindo |H(Ωn)| em série de Taylor tem-se que: 
 
( ) ( ) L−Ω+Ω−=Ω+=Ω
N
n
N
nN
n
njH
42
2 8
3
2
11
1
1 (11) 
 
Desse modo, as derivadas de |H(Ωn)| para Ωn = 0 serão nulas, isto é, 
 
( ) 12210
0
−==ΩΩ =Ω
N,,,k:jH
d
d
n
nk
n
k
L (12) 
 
Todas as derivadas de ordem n = 1, 2, ..., 2N-1 são nulas em Ωn = 0, indicando que em torno deste valor 
a função é plana. Devido a esta propriedade o filtro de Butterworth é conhecido como filtro com 
resposta em amplitude maximamente plana. 
 
4. Conforme a ordem do filtro aumenta, a resposta de amplitude torna-se mais plana na faixa de passagem e 
a taxa de atenuação na banda de transição torna-se mais acentuada, como pode ser observado na figura 
6.a. Acima da freqüência de corte, isto é, para Ωn >>1 ou Ω >> Ωc, a função de transferência exibe uma 
taxa de atenuação correspondente a 20N dB por década (cada vez que se multiplica por 10 a freqüência) 
ou 6N dB por oitava (cada vez que se dobra a freqüência). Nesta situação a resposta assintótica será: 
 
( )
N
c
jH




Ω
Ω
≈Ω 1 (13) 
 
Os pólos da função de transferência são aqueles anulam o denominador da equação (10). Assim: 
 
( ) ( ) 12101 121
2
2
−==−=Ω−
π+ N,,,kes N/kjN/
c
L (14) 
 
Conseqüentemente, os pólos que permitem que o filtro seja estável são: 
 
Filtros 
 mbj - 7- 
 
( ) 1102122 −=Ω= π+π N,,,keep N/kj/jck L (15) 
 
 A equação acima indica que estes pólos estão localizados no semiplano esquerdo do plano s em pontos 
regularmente espaçados em um círculo de raio Ωc e são simétricos em relação ao eixo real, como mostra a 
figura 6.b. 
 
 
0 Ωc 2Ωc0 
0.5 
1 
jΩ
σΩC
×
×
×
× ×
××
pk
 
(a) (b) 
N=2
N=3 
N=4 
 
 
Figura 6: Espectro de amplitude (a) e localização dos pólos do filtro de Butterworth (b) 
 
 
 A tabela I mostra alguns polinômios de Butterworth normalizados admitindo Ωc = 1 rad/s e fatorados em 
polinômios de ordem 1 ou 2. 
 
Tabela I: Polinômios de Butterworth normalizados (Ωc = 1 rad/s). 
 
N B(s) 
1 s+1 
2 s2 + 1.41421s + 1 
3 (s + 1)(s2 + s + 1) 
4 (s2 + 0.76537s +1)(s2 + 1.84776s +1) 
5 (s + 1)(s2 + 0.61803s + 1)(s2 + 1.61883s + 1) 
6 (s2 + 0.51764s + 1)(s2 + 1.41421s + 1)(s2 + 1.93185s + 1) 
7 (s + 1)(s2 + 0.44504s + 1)(s2 + 1.24798s + 1)(s2 + 1.80194s + 1) 
 
 
Exemplo 2: 
 
Determine a função de transferência de um filtro de Butterworth de ordem 2 com freqüência de corte Ωc 
= 1 rad/s. 
 
• O cálculo dos pólos é feito utilizando a equação (15), assim: 
 
( ) ( )
( ) ( )
2
1
2
14545
2
1
2
14343
45432
1
4342
0
j/jsen/coseeep
j/jsen/coseeep
/j/j/j
/j/j/j
−−=π+π===
+−=π+π===
πππ
πππ
 
Filtros 
 mbj - 8- 
 
• A determinação de H(s), admitindo um filtro, somente com pólos, de ordem N e ganho unitário, é 
realizada através da seguinte expressão: 
 
( ) ( )( )( ) ( )110
1101
−
−
−−−
−=
N
N
N
pspsps
ppp
sH L
L
 (16) 
 
 Portanto, como o filtro apresenta dois pólos, 
 
( ) ( )( )
( )( )( )( )21212121 2121212110 10 /j/s/j/s /j//j/psps ppsH −+++ −−−−=−−= 
 
( )
12
1
2 ++= sssH 
 
 
5. Especificações para o projeto de filtros passa-baixas 
 
As especificações mais comuns encontradas para o projeto de um filtro são ilustradas na figura 7. 
Primeiramente admite-se que o filtro apresente ganho máximo igual à unidade na banda de passagem. Além 
disso, nesta figura a resposta de amplitude de um filtro passa-baixas é linearizada por partes, onde se 
identificam três regiões distintas: Uma banda de passagem (0 a Ωp), uma banda de transição (Ωp a Ωs) e uma 
banda de atenuação ou de parada (acima de Ωs). Em que, Ωp é a freqüência da banda de passagem, Ωs é a 
freqüência de início da banda de atenuação, δp (Ap em decibels) e δs (As em decibels) são a atenuação 
máxima da banda de passagem e atenuação mínima da banda de parada. 
 
 
 δp = δMAX 
 δs = δMIN 
Ωp Ωs Ω 
|H(Ω) 
1 
 
 
Figura 7: Especificações para o projeto de filtros passa-baixas. 
 
Na faixa de passagem (0 a Ωp) a atenuação não pode exceder a δp (atenuação máxima) e na banda de 
atenuação (acima de Ωs) a atenuação não deverá ser menor que δs (atenuação mínima). Para se obter a melhor 
aproximação possível de um filtro ideal, a banda de transição BT = Ωs - Ωp deve ser a menor possível. Com 
estas informações determina-se facilmente a ordem N e a freqüência de corte da característica de Butterworth 
utilizando a equação (10). De posse destes resultados determina-se os pólos através da equação (15). 
 
A ordem do filtro de Butterworth pode ser prontamente determinada através das especificações acima. 
Admitindo Ap a atenuação máxima, em decibels, na banda de passagem e As a atenuação mínima, em decibels 
na banda de rejeição, a ordem do filtro é dada como o menor inteiro tal que: 
 
Filtros 
 mbj - 9- 
( ) ( )[ ]( )sp A.
A.
/log
/logN
sp
ΩΩ
−−≥
2
110110 1010 (17) 
 
 
Exemplo 3: 
 
Determine a função de transferência [H(s)] de um filtro de Butterworth que satisfaça as seguintes 
condiçõesde projeto: Ωp = 1000π rad/s (Fp = 500 Hz), Ap = 2 dB (δp), Ωs = 4000π rad/s (Fs = 2000 Hz), As = 
40 dB (δs). 
 
• Utilizando a equação (10), na banda de passagem tem-se que: 
 
( ) ( )I.jH N
c
/
N
c
p 58490
100010
10001
1
2
102
2
2 =



Ω
π⇒=




Ω
π+
=Ω − 
 
• Na banda de atenuação tem-se: 
 
( ) ( )IIjH
N
c
/
N
c
s 9999
400010
40001
1
2
1040
2
2 =



Ω
π⇒=




Ω
π+
=Ω − 
 
• A determinação da ordem do filtro pode ser feita dividindo (II) por (I): 
 
( ) 51310709514
58490
9999
1000
4000 42
2
.N.
./
/ N
N
c
c =⇒=⇒=



Ωπ
Ωπ 
 
A ordem do filtro é aproximada para o menor inteiro maior que 3.51. Assim: 
 
N = 4 
 
Observação: Esta ordem poderia ser determinada diretamente utilizando a equação (17), mostrada 
anteriormente. 
 
• O cálculo da freqüência de corte pode ser feito utilizando a equação (I) ou (II) em que N = 4. Utilizando 
(I) tem-se: 
 
s/rad. c
c
π=Ω⇒=



Ω
π 1069584901000
8
 
 
 Observe que esta solução não é única. Utilizando a equação (II) o resultado seria outro (1265π rad/s), 
porém qualquer que seja a freqüência utilizada, o filtro estará dentro das especificações do problema. 
 
• Cálculo dos pólos, utilizando a equação (15): 
 
Filtros 
 mbj - 10- 
32101069 8
12
2
1
,,,k:ep
kj
k =π=


 ++π
 
 
• Cálculo de H(s). Após alguma manipulação algébrica tem-se que: 
 
141027334
14
3210
3210
102721108989108513107768
102721
.s.s.s.s
.
)ps)(ps)(ps)(ps(
pppp
)s(H
++++=
−−−−=
 
 
 
6. Resposta de Chebyshev 
 
A família de Chebshev apresenta como uma de suas principais características uma maior taxa de 
atenuação na banda de transição do que a dos outros filtros polinomiais. Uma outra carcterística é que ele 
apresenta ondulações regulares na banda de passagem ou então na de atenuação. Existem dois tipos de filtros 
de Chebyshev: tipo I e tipo II. O primeiro tipo apresenta um comportamento oscilatório equiripple na faixa de 
passagem e um comportamento monotônico para freqüências acima desta banda, como mostra a figura 9. O 
filtro tipo II apresenta um comportamento exatamente o oposta ao tipo I, isto é, um comportamento 
monotônico na faixa de passagem e oscilatório na banda de atenuação, figura 10. 
 
Para o filtro de Chebyshev tipo I o módulo ao quadrado da resposta em freqüência é dado por: 
 
( ) ( ) ( )nNpN C/CjH Ωε+=ΩΩε+=Ω 2222
2
1
1
1
1 (18) 
 
em que: ε é um parâmetro que controla a amplitude das ondulações da banda de passagem e CN(Ωn) é o 
polinômio de Chebyshev de ordem N. 
 
Embora CN(Ωn) seja um polinômio, ele é melhor definido em termos de funções trigonométricas como 
abaixo: 
 
( ) ( )( )


>ΩΩ
≤ΩΩ=Ω −
−
1
1
1
1
nn
nn
nN
,coshNcosh
,cosNcos
C (19) 
 
Algumas propriedades são muito importantes para estes polinômios, veja figura 8. Para |Ωn| ≤ 1, eles 
apresentam um comportamento oscilatório, com amplitude constante variando entre ± 1 e por esta razão são 
chamadas também de funções equiripple. Para |Ωn| > 1, tem-se uma função cosseno hiperbólico, e portanto, 
CN(Ωn) cresce com maior rapidez do que qualquer outro polinômio de mesma ordem, produzindo um filtro 
cujas características são mostradas na figura 9. 
 
Filtros 
 mbj - 11- 
 
5 
4 
3 
2 
1 
0 
-1 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 
CN(Ωn) 
0
1 
2 
3 
4 
5 
 
Figura 8: Polinômios de Chebyshev 
 
Na realidade não há necessidade de se utilizar a equação (19), pois estes polinômios são facilmente 
gerados através da seguinte fórmula de recursão: 
 ( ) ( ) ( )nNnNnnN CCC Ω−ΩΩ=Ω −+ 11 2 (20) 
 
em que: C0(Ωn) = 1 e C1(Ωn) = Ωn e portanto segue que: 
 
M
188
34
12
24
4
3
3
2
2
+Ω−Ω=
Ω−Ω=
−Ω=
nn
nn
n
C
C
C
 (21) 
 
 
0 
0 
0.5 
1 
Ωp 2Ωp 
jΩ 
σ 
× 
× 
× 
× 
pk
(a) (b) 
211 ε+/ N=3 
N=4 
N=5 
 
 
Figura 9: Espectro de amplitude (a) e localização dos pólos do filtro de Chebyshev (b). 
 
 
Considerando as equações (18) e (19), as seguintes propriedades podem ser observadas: 
 
1. Para Ωn = 0 tem-se: 
 
( )



ε+
= parN,
ímparN,
H
21
1
1
0 (22) 
 
Filtros 
 mbj - 12- 
2. Para Ωn = Ω/Ωp = 1, o ganho é mínimo na banda de passagem ou máxima atenuação nesta banda: 
 
( ) Nqualquer,H p
21
1
ε+
=Ω (23) 
 
3. A ondulação r (ripple) ou Ap (em dB) na banda de passagem é definida como: 
 
( ) 110110110 1022 −=ε⇒ε+= == /rMINMAX logHHlogr (24) 
 
em que HMAX e HMIN são , respectivamente, os ganhos máximo e mínimo na banda de passagem. Observe Que 
r = Ap nas especificações para o filtro de Butterworth. 
 
4. O número total de máximos e mínimos na banda de passagem é determinado pela ordem do filtro. 
 
5. A banda passante é definida como a faixa de freqüências em que a ondulação oscila na amplitude 
mínima. 
 
 
Os pólos pk desta família de filtros são aqueles anulam o denominador da equação (18). Assim, eles estão 
localizados em uma elipse cujos raios, maior (r1) e menor (r2) são dados por: 
 




β+β
Ω= 1
21
pr (25) 
 




β−β
Ω= 1
22
pr (26) 
 
em que, Ωp é a freqüência máxima da banda de passagem e o parâmetro β, depende de ε e da ordem N, sendo 
dado por: 
 
N/1
2 11 


ε+ε+=β
− (27) 
 
 Desse modo, os pólos pk são dados por: 
 
kkkkk senjrcosrjp φ+φ=Ω+σ= 12 (28) 
 
em que: 
 
 110
2
12
2
−=π++π=φ N,,,k:
N
k
k L (29) 
 
As especificações para o filtro de Chebyshev são praticamente as mesmas do projeto de um filtro de 
Butterworth a não ser pela ondulação na banda de passagem. Desse modo, no projeto destes filtros é comum a 
especificação dos seguintes parâmetros: ondulação máxima na banda de passagem (r = Ap), freqüência da 
banda de passagem (Ωp), atenuação mínima na banda de atenuação (As em dB) e freqüência de início desta 
banda (Ωs). Com estes dados, o valor de ε é determinado através da equação (22) e a ordem N é determinada 
por uma das seguintes equações dadas abaixo: 
Filtros 
 mbj - 13- 
 






−



Ω
Ω+Ω
Ω






ε
+ε+δ+−δ
=
1
2
11
2
222
p
s
p
s
ss
log
log
N (30) 
 
em que: 2010 /As s=δ , ou mais usualmente, a ordem pode ser calculada por: 
 




Ω
Ω






−
−
=
−
−
p
s
/r
/A
cosh
cosh
N
s
1
10
10
1
110
110
 (31) 
 
Após os cálculos de N e ε, os pólos do filtro são determinados utilizando as equações (27), (25), (26), 
(29) e (28). O exemplo a seguir ilustra o procedimento de projeto de um filtro de Chebyshev. 
 
 
Exemplo 4: 
 
Determine a função de transferência de um filtro de Chebyshev que satisfaça as seguintes especificações: 
ondulação na banda de passagem r = 2 dB, Ωp = 1000π rad/s (Fp = 500 Hz), Ωs = 4000π rad/s (Fs = 2000 Hz), 
As = 40 dB (δs). (Estas especificações são as mesmas do exemplo 3). 
 
• Cálculo de ε equação (24): 
 
764780584890110110 20102 .../r =ε⇒=−=−=ε 
 
• Cálculo da ordem do filtro, equação (30): 
 
22040 1010 ==δ /s 
 
( )
{ } { }{ } 3362872987 7581301164
7647802
158489010110 44
=⇒==−+





 +++−
= N.
.log
.log
log
.
.log
N 
 
• Cálculo dos pólos, equações (25), (26), (27) e (28): 
 
43481
764780
1
584890
1
1
31
.
..
/
=


 ++=β 
 
p
p
p
p .
.
.r.
.
.r Ω=

 −Ω=Ω=

 +Ω= 36890
43481
143481
2
06591
43481
143481
2 21
 
Filtros 
 mbj - 14- 
 
33122
3
121
33
120
10921057950
3
4
3
4
1015891
10921057950
3
2
3
2
.j.senjrcosrp
.senjrcosrp
.j.senjrcosrp
−−=π+π=
−=π+π=
+−=π+π=
 
 
• Cálculo de H(s). Após alguma manipulação algébrica tem-se: 
 
96233
9
210
210
101361010417408910103182
1013610
.s..s.s
.
)ps)(ps)(ps(
ppp
)s(H +++=−−−
−= 
 
Observe que, apesar dos dados deste exemplo serem praticamente os mesmos do exemplo 3, feito 
anteriormente, o filtro de Chebyshev apresenta uma ordem menor (N = 3) do que a ordem do filtro de 
Butterworth (N = 4). Assim, comparando os filtros de Chebyshev e de Butterworth com ordens iguais, a 
aproximação de Chebyshev apresenta uma resposta em freqüência que é mais abrupta na região de transição, 
na primeira oitava a taxa de atenuação é maior do que 6N dB/oitava, mas em contrapartida a resposta 
apresenta uma ondulação na banda de passagem. 
 
 
Uma segunda forma da aproximação é o filtro de Chebyshev tipo II, também chamado de filtro de 
Chebyshev inverso. Para se obter a resposta em freqüência deste filtro, a variável Ωn da equação (18) é 
recolocada por 1/Ωn, o que transforma a resposta para passa-altas. Subtraindo esta característica da unidade 
obtém o filtro passa-baixas de Chebyshev tipo II, como mostra a figura 10. Neste caso, o quadrado do módulo 
da resposta em freqüência será dado por: 
 
( ) ( )( )nN
nN
/C
/C
jH Ωε+
Ωε=Ω
11
1
22
22
2 (32) 
 
em que sn / ΩΩ=Ω 
 
0 Ωp Ωs 2Ωs
0.5 
1 
δs 
 
 
Figura 10: Espectro de amplitude do filtro de Chebyshev tipo II. 
 
Observe que a função de transferência apresenta zeros e pólos. Os zeros são prontamente calculados 
estabelecendo o numerador da equação (31) igual a zero, isto é, CN(1/Ωn) = 0. Eles estão localizados no eixo 
imaginário tal que: 
 
Filtros 
 mbj - 15- 
k
k cos
jz φ=
1 (33) 
 
em que: 
 
 ( ) 110
2
12 −=π+=φ N,,,k
N
k
k L (34) 
 
Analisando as equações (18) e (32) observa-se que os pólos são os recíprocos daqueles do filtro 
convencional de Chebyshev (tipo I). Denotando os pólos do filtro inverso de Chebyshev por: 
 
'
k
'
k
'
k jp Ω+σ= (35) 
 
então: 
 
2222
kk
k'
k
kk
k'
k e Ω+σ
Ω=Ω
Ω+σ
σ=σ (36) 
 
em que: σk e Ωk são as partes real e imaginária do filtro tipo I de Chebyshev calculados pela equação (28). 
 
A desnormalização é realizada multiplicando as equações (33) e (36) pela freqüência da banda de 
atenuação (Ωs). 
 
As localizações destes pólos não pertencem a uma curva geométrica como aquelas dos filtros de 
Butterworth e de Chebyshev tipo I, além disso, o filtro de Chebyshev tipo I apresenta uma banda de transição 
mais abrupta. Em contrapartida, o filtro de Chebyshev tipo II apresenta uma resposta de fase mais regular e 
uma banda passante sem ondulações. 
 
Novamente, a forma mais comum de se especificar o filtro de Chebyshev tipo II é em termos da 
freqüência da banda de passagem (Ωp), da atenuação máxima permitida nesta banda, da freqüência da banda 
de atenuação (Ωs) e da atenuação mínima permitida nesta banda ou ondulação (δs). 
 
Admitindo Ap a atenuação máxima (em dB) na banda de passagem, então a ordem do filtro pode ser 
encontrada como o menor inteiro que satisfaz a seguinte relação: 
 






=




Ω
Ω




−
−
≥
−
−
−
−
k
cosh
d
cosh
cosh
cosh
N
p
s
A.
A.
p
s
1
1
110
110
1
1
1
10
10
1
 (37) 
 
em que: 
 
110
110
10
10
−
−=
s
p
A.
A.
d (38) 
 
s
pk Ω
Ω= (39) 
Filtros 
 mbj - 16- 
 
O fator de ondulação é dado por: 
 
110
1
10 −
=ε
As.
 (40) 
 
 
A partir das especificações o filtro pode ser determinado através do seguinte procedimento: 
 
[1] Determina-se ε através da equação (40) 
[2] A ordem do filtro é determinada a partir da equação (37) 
[3] Determinam-se os zeros através das equações (32) multiplicada por Ωs e (34) 
[4] Calcula-se os pólos do filtro de Chebyshev tipo I. Os recíprocos dados pelas equações (35 e 36), 
multiplicados por Ωs são os pólos do filtro inverso tipo II 
[5] A função de transferência, com ganho na banda passante igual a 1, é determinada por: 
 
( ) ( )( )( )( )LLLL ''
''
psps
zszs
zz
pp
sH
10
10
10
10
−−
−−= (41) 
 
 
Exemplo 5: 
 
Determine a função de transferência de um filtro de Chebyshev tipo II que satisfaça as seguintes 
especificações: atenuação máxima na banda de passagem 0.1 dB, Ωp = 2000π rad/s (Fp = 1000 Hz), Ωs = 
4000π rad/s (Fs = 2000 Hz), atenuação mínima na banda de atenuação As = 20 dB. 
 
• Cálculo de ε, equação (40): 
 
1005040
110
1
110
1
210
.
As.
=
−
=
−
=ε 
 
• Cálculo da ordem do filtro, equação (37) 
 
46983
2000
4000
152620
949879
1
1
=⇒=



π
π



≥
−
−
N.
cosh
.
.cosh
N 
 
• Cálculo dos zeros, equações (33) e (34), utilizando N = 4 tem-se: 
 
3,2,1,0
8
12cos
=
π+
Ω= k
k
jz sk 
 
4
2,1
4
3,0 10284.31036.1 jzjz ±=±= 
 
• Cálculo dos pólos do filtro de Chebyshev tipo I, equações (25), (26), (27) e (28): 
 
Filtros 
 mbj - 17- 
113421
41
12 .
/
=

 ε+ε+=β −− 
 
3
2
2
3
2
1 1014.5
1
2
1012.81
2
=β
−βΩ==β
+βΩ= pp rr 
 
8
111050710971
8
91011310754
8
71011310754
8
51050710971
8
12
2
3
3
3
3
3
2
3
2
3
2
1
3
1
3
1
0
3
0
3
0
12
π=φ−=Ω−=σ
π=φ−=Ω−=σ
π=φ=Ω−=σ
π=φ=Ω−=σ
π++π=φφ=Ωφ=σ
..
..
..
..
ksenjrcosr kkkkk
 
 
• Cálculo dos pólos do filtro de Chebyshev tipo II, equação (36): 
 
3
3
3
3
3
2
3
2
3
1
3
1
3
0
3
0
10151210193
10886105110
10886105110
10151210193
..
..
..
..
''
''
''
''
−=Ω−=σ
−=Ω−=σ
=Ω−=σ
=Ω−=σ
 
 
• Função de Transferência, equação (41): 
 
161228344
16284
10492103241050410742
104921058112480
.s.s.s.s
.s.s.)s(H +++
++= 
 
 A figura 5, mostra o gráfico do módulo da resposta em freqüência do filtro, observe que a banda de 
passagem é plana e banda de atenuação apresenta ondulações. 
 
103
0
0.5
1
104 Hz 
Figura 11: Espectro de amplitude do filtro do exemplo 5 
 
 
7. Filtros Elípticos 
 
Filtros 
 mbj - 18- 
Os filtros elípticos (ou de Cauer) possuem uma resposta em freqüência cujo módulo apresenta ondulações 
equiripple tanto na banda de passagem quanto na de atenuação, como mostra a figura 12. Esta resposta é 
especificada em termos de quatro parâmetros, do mesmo modo que foi feito para os filtros anteriores. 
 
i. Ondulação ou variação máxima (δp) na banda de passagem, 
ii. Freqüências da banda de passagem: Ωp, 
iii. Freqüência da banda de atenuação: Ωs, 
iv. Ondulação ou resposta (δs) na banda de atenuação, 
 
O resultado final do projeto destes filtros é que, sendo especificados estes quatro parâmetros, a ordem (N) 
pode ser determinada, e apresentará um valor mínimo. Assim, especificando as ondulações e freqüências da 
banda de transição este projeto conduzirá a um filtro com a menor ordem em comparação com os outros tipos 
de filtros descritos acima. 
 
 
0 Ωp Ωs
δp 
δs 
21
1
ε+
 
1 
 
Figura 12: Filtro Elíptico 
 
A resposta em freqüência dos filtros elípticos apresenta zeros e pólos, sendo esta, uma generalização dos 
filtros de Chebyshev tal que: 
 
 ( ) ( )Ωε+=Ω 22
2
1
1
G
jH (42) 
 
em que: G(Ω) é uma função racional, que é uma generalização do polinômio de Chebyshev, gerada através da 
função elíptica Jacobiana, e ε é o parâmetro relacionado com a ondulação na banda de passagem. 
 
 
A ordem do filtro elíptico 
 
O desenvolvimento da função de transferência do filtro elíptico é muito complexo, neste texto só iremos tratar 
de um procedimento para o cálculo da ordem do filtro através das especificações das ondulações e freqüências 
da banda de transição. 
 
1. calcule o fator de seletividade k, 
 
s
pk Ω
Ω=(43) 
 
 
2. Calcule o fator de discriminação d, que é um parâmetro relacionado com a ondulação na banda de 
atenuação, 
 
Filtros 
 mbj - 19- 
110
110
1
1
10
10
2
2
2
−
−=−δ
−δ=
s
p
A.
A.
s
pd (44) 
 
3. A ordem do filtro é determinada pelo menor inteiro que satisfaz, 
 






≥
qlog
d
log
N
1
16
2
 (45) 
 
em que: 
 
13
0
9
0
5
00 150152 qqqqq +++= (46) 
 
e 
 ( )( ) 412
412
0
11
11
2
1
/
/
k
kq
−+
−−= (47) 
 
Deve-se salientar que mostrar todos os detalhes do procedimento de projeto dos filtros elípticos até se 
chegar ao cálculo dos zeros e pólos da função de transferência é uma tarefa muito difícil e cansativa pois 
envolve o desenvolvimento de muitas equações. Além disso, os cálculos das equações acima envolvem 
procedimentos numéricos, desse modo, foi apresentado somente um esboço do projeto e das principais 
equações envolvidas. Para maiores detalhes sugere-se que se consulte Zverev (1967), Parks & Burrus (1987) 
ou Antoniou (1993). que tratam com detalhes do projeto destes filtros. Basta salientar aqui que existem 
disponíveis programas de computador e softwares aplicativos, tais como o Matlab, que possibilitam 
facilmente projetar estes filtros a partir das especificações estabelecidas anteriormente. 
 
 
Exemplo 6: 
 
Determine a ordem de um filtro elíptico que satisfaça as seguintes especificações: atenuação máxima (ou 
ondulação) na banda de passagem 0.1 dB, Ωp = 900 rad/s, Ωs = 1000 rad/s e atenuação mínima na banda de 
atenuação As = 50 dB. 
 
• cálculo do fator de discriminação: 
 
6
5010
1010
10
10
2 10230
99999
0232930
110
110
110
110 −==−
−=−
−== ...d ..
...
A.
A.
s
p
 
 
• cálculo do fator de seletividade 
 
90
1000
900 .k
s
p ==Ω
Ω= 
 
• cálculo de q 
 
Filtros 
 mbj - 20- 
( )( ) ( )( ) 1023309011 90112111 1121 412
412
412
412
0 .
.
.
k
kq /
/
/
/
=
−+
−−=
−+
−−= 
 
10235401023302102330 2 ....q ≈++= L 
 
• cálculo da ordem 
 
891687
98990
83697
1
16
2 =⇒==






≥ N.
.
.
qlog
d
log
N 
 
 
8. Filtros de Bessel 
 
Os filtros de Bessel são uma classe de filtros somente com pólos, caracterizados por apresentarem fase 
linear (atraso de tempo constante) na banda de passagem. Eles são caracterizados pela seguinte função de 
transferência: 
 
( ) ( )sB
b
sH
N
0= (48) 
 
em que: b0 = BN(0) e BN(s) representa o polinômio de Bessel de ordem N, que pode ser expresso pela seguinte 
equação: 
 
( ) ( )( )!kN!k
!kNaesasB kNk
N
k
k
kN −
−== −
=
∑ 2 20 (49) 
 
Alternativamente, este polinômio pode ser gerado facilmente através da seguinte fórmula de recursão: 
 
( ) ( ) ( ) ( )sBssBNsB NNN 22112 −− +−= (50) 
 
com condições iniciais: B0(s) = 1 e B1(s) = s + 1. 
 
Diferentemente dos filtros de Butterworth, Chebyshev e elíptico, não existe uma regra simples para se 
determinar as raízes de B(s), porém elas podem ser determinadas através de métodos computacionais. O filtro 
de Bessel apresenta uma banda de transição maior do os anteriores, porém ele tem sido empregado no projeto 
de filtros analógicos quando se necessita de um filtro com característica de fase linear [7]. 
 
 
9. Transformação de Freqüências 
 
 Os estudos realizados até aqui foram concentrados nos protótipos de filtros passa-baixas. No 
procedimento de projetos de filtros analógicos é muito comum se iniciar com um filtro passa-baixas com 
freqüência de corte ou da banda de passagem igual a 1 rad/s e em seguida fazer a transformação de 
freqüências que se deseja. Nesta seção vamos aprender a como transformar um protótipo passa-baixas em um 
dos outros tipos de respostas em freqüência, isto é, os filtros passa-altas, passa-banda e rejeita banda. 
 
Filtros 
 mbj - 21- 
 Primeiramente considere que se tem disponível um protótipo passa-baixas, normalizado com freqüência 
de corte ou freqüência da banda de passagem igual a 1 rad/s. 
 ( ) s/radouqueemsH pc 1=ΩΩ (51) 
 
 Assim, H(s) é simplesmente a função de transferência do filtro passa-baixas onde freqüência de 
referência Ωp ou Ωc é igual a 1 rad/s (a freqüência de referência pode ser a de corte ou a da banda de 
passagem). Observe que se admitirmos que a atenuação máxima na banda de passagem seja 3 dB então Ωp = 
Ωc. A tabela II apresenta diretamente uma lista destas transformações, onde se admite que se tem disponível 
um protótipo passa-baixas. 
 
 
Tabela II: Transformação dos protótipos passa-baixas normalizados. 
 
Filtro Substituição para Ω e s 
Para passa-altas 
s
sou pp
Ω→Ω
Ω→Ω (52) 
Para passa-banda ( ) ( )s
s
sou
12
2
0
2
12
2
0
2
Ω−Ω
Ω+→ΩΩ−Ω
Ω−Ω→Ω (53) 
em que: 210 ΩΩ=Ω 
Para rejeita-banda 
( ) ( )
2
0
2
12
2
0
2
12
Ω+
Ω−Ω→Ω−Ω
ΩΩ−Ω→Ω
s
s
sou (54) 
 
 Na tabela II, Ω0 é a freqüência de ressonância do filtro passa-banda, Ω1 e Ω2 são as freqüências de corte 
inferior e superior (ou da banda de passagem) dos filtros passa-banda ou rejeita-banda. 
 
 
1 Ωsn Ωp/Ωsn Ωp
Ω1 Ω0 Ω2 Ω1 Ω0 Ω2 
protótipo passa-altas 
passa-banda rejeita-banda 
 
 
Figura 14: Transformação de freqüências a partir de um protótipo passa-baixas. 
(Ωsn = freqüência da banda de atenuação para o filtro normalizado). 
Filtros 
 mbj - 22- 
 
 
Desnormalização do filtro 
 
 Se for disponível um protótipo de qualquer tipo filtro, normalizado na freqüência de 1 rad/s. A 
desnormalização para uma arbitrária freqüência Ωp é realizada por meio da seguinte substituição: 
 
 
pp
ssou Ω→Ω
Ω→Ω (55) 
 
em que freqüência Ωp pode ser a freqüência de corte freqüência Ωc. 
 
 Pode também ocorrer uma situação com uma freqüência de corte ou de passagem Ωp diferente de 1 rad/s 
e queremos transformar em um outro filtro com freqüência 'pΩ . Neste caso a transformação que deve ser 
realizada é dada pela seguinte equação, 
 
ssou '
p
pp
Ω
Ω→Ω
Ω→Ω (56) 
 
 A transformação de um protótipo passa-baixas com freqüência da banda de passagem igual a Ωp para um 
outro tipo de filtro, passa-altas, passa-banda ou rejeita-banda é fornecida diretamente pela tabela III. Como 
anteriormente, nesta tabela, Ω0 é a freqüência de ressonância do filtro passa-banda, Ω1 e Ω2 são as freqüências 
de corte inferior e superior (ou da banda de passagem) dos filtros passa-banda ou rejeita-banda. 
 
Tabela III: Transformação de freqüência de protótipos passa-baixas. 
 
Filtro Substituição para s 
Passa-altas 
s
s
'
ppΩΩ→ (57) 
Passa-banda ( )s
s
s p
12
2
0
2
Ω−Ω
Ω+Ω→ (58) 
em que: 210 ΩΩ=Ω 
Rejeita-banda 
( )
2
0
2
12
Ω+
Ω−ΩΩ→
s
s
s p (59) 
 
 
Exemplo 7: 
 
 Transforme o filtro passa-baixas obtido no exemplo 2 em um filtro passa-baixas com freqüência de corte 
igual a 1 kHz. 
 
• do exemplo 2 tem-se que: ( )
1414211
1
2 ++= s.ssH 
 
Filtros 
 mbj - 23- 
• estabelecendo: 
10002π=
ss 
 
• então: 
 
( )
( )
( ) ( )2332
23
3
2
3
102102414211
102
1
102
414211
102
1
π+π+
π=
+π+


π
=
s..s
s.s
sH
 
 
 
( ) 632
6
1047839108868
1047839
..s..s
..sH ++= 
 
 
Exemplo 8: 
 
 Transforme o filtro passa-baixas obtido no exemplo 2 em um filtro passa-altas com freqüência de corte 
igual a 1 rad/s. 
 
• neste caso basta fazer: 
s
s 1= 
 
• assim: 
 
( )
14142111
1
2 ++
=
s
.
s
sH 
 
( )
14142112
2
++= s.s
ssH 
 
 
 
 
Bibliografia 
 
 
[1] Haykin, S. & Van Veen, B., “Sinais e Sistemas”, Bookman - Porto Alegre, 2001. 
[2] Johnson, D. E., “Introduction to Filter Theory”, Prentice-Hall, 1976. 
[3] Zverev, A. I., “Handbook of filter synthesis”, John Wiley & Sons, 1967. 
[4] Van Valkenburg, M. E., “Analog Filter Design”, Holt-Saunders International Editions, 1982. 
[5] Parks, T.W and Burrus, C.S., “Digital filter design”, John Wiley & Sons, 1987. 
[6] Antoniou, A., “Digital filters: Analysis and Design”, 2nd, McGraw-Hill, 1993. 
[7] Openheim, A. V. and Schafer, R. W., “Discrete-Time SignalProcessing”, Prentice-Hall, 1989. 
[8] Baher, H., “Analog & Digital Signal Processing”, John Wiley & Sons, 1990. 
Filtros 
 mbj - 24- 
[9] Hayes M. H., “Digital Signal Processing”, Schaum’s Outlines, McGraw-Hill, 1999. 
[10]