Prova Sinais e Sistemas 2021-2

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Sinais e Sistemas – 2021.2
Prova 1
Gustavo Amaral
1 Aquecimento: perguntas curtas, respostas objetivas
1.1 Primeira Questão - pique no lugar
Mostre que a multiplicação por um número complexo de módulo unitário corresponde a uma rotação
no plano complexo.
1.2 Segunda Questão - correndo de lado
Encontre o vetor v ortogonal ao vetor u = (1 − j, 1 + 3j). Apresente ambos os vetores em sua forma
normalizada.
1.3 Terceira Questão - joelho pra cima
Apresente uma função a tempo contínuo, periódica de período fundamental T, que não seja par nem
ímpar, e que possua valor médio igual a zero.
1.4 Quarta Questão - tiro curto
Apresente uma base ortonormal para funções contínuas, periódicas, e quadraticamente integráveis.
1.5 Quinta Questão - calcanhar pra trás
Se duas funções periódicas a tempo contínuo possuem séries de Fourier com coeficientes idênticos, isso
significa que essas funções são iguais? Explique.
1.6 Sexta Questão - polichinelo
É possível encontrar uma base ortonormal para funções contínuas, não-periódicas, e quadraticamente
integráveis? Nesse contexto, explique a motivação por trás do espectro contínuo da Transformada de
Fourier.
2 Maratona: uma jornada do começo ao fim
2.1 Primeira Questão - 4.2km soltando os músculos
Números complexos possuem diversas aplicações em diferentes áreas da matemática e ciências. Pontue
a importância de números complexos no contexto da Série e da Transformada de Fourier.
2.2 Segunda Questão - 8.4km sentindo a panturrilha
Discuta condições para que duas funções sejam consideradas ortogonais. Em seguida, apresente uma
família ortogonal de funções normalizadas (ou seja, módulo unitário) capaz de representar qualquer função
periódica, quadraticamente integrável, e par.
1
2.3 Terceira Questão - 12.6km e a barreira psicológica dos 10
Seja uma função periódica, ímpar, e quadraticamente integrável, o que pode ser dito sobre o termo a0
da Série de Fourier dessa função?
2.4 Quarta Questão - 16.8km com um copo de água
Suponha que você tenha acesso aos coeficientes da Série de Fourier de uma função f (t) a tempo contínuo.
Essa função é submetida a um sistema que introduz um atraso no tempo caracterizado por τ produzindo a
função g (t). É possível determinar os coeficientes da Série de Fourier de g (t)? Em caso positivo, apresente
tais coeficientes.
2.5 Quinta Questão - 21km na metade
Sobre o sistema introduzido na questão anterior, suponha que a função de entrada f (t) seja:
f (t) =
{
1 0 ≤ x < T/2
0 T/2 ≤ x < T.
(1)
Apresente um valor de τ de forma que:
• i) as funções f (t) e g (t) sejam ortogonais;
• ii) a função g (t) seja par;
• iii) a função g (t) não seja par nem ímpar.
2.6 Sexta Questão - 25.2km sentindo o peso do braço
Apresente os coeficientes da Série de Fourier da função g (t) encontrada em cada item da questão
anterior.
2.7 Sétima Questão - 29.4km agora é só no psicológico
A função seno cardinal (sinc(at)), definida como:
sinc (ξ) =
sin (ξ)
ξ
(2)
tem como Transformada de Fourier a função pulso, definida como:
1
|a|
p
(
jω
a
)
. (3)
Apresente o gráfico do módulo de G (jω), onde:
G (jω) = F{sinc (t) · cos (2πfct)}. (4)
2.8 Oitava Questão - 33.6km comendo uma pasta de carboidrato
Suponha que você esteja interessado em transmitir mensagens representadas por três funções a tempo
contínuo do tipo sinc, como acima: sinc1, sinc2, sinc3. Utilizando o resultado da questão anterior, apresente
uma forma de garantir que essas mensagens possam ser multiplexadas no domínio da frequência, ou seja,
que elas possam ser transmitidas simultaneamente e, em seguida, recuperadas individualmente.
2
2.9 Nona Questão - 37.8km se distraindo com a paisagem
Um filtro é uma estrutura que permite atuar sobre as componentes de frequência de um sinal. Apresente
a expressão (no domínio da frequência) que permita recuperar uma e apenas uma das três mensagens
introduzidas acima.
2.10 Décima Questão - 41.9km cada passo é uma vitória
De posse das propriedades de integração e derivação da Transformada de Fourier, indique o resultado
do Teorema Fundamental do Cálculo, ou seja, que a integral da derivada de uma função é a própria função.
3 Sprint final: aplicação
3.1 Questão Única - 100 metros pra dar tudo
Uma fonte chaveada (comum em carregadores de celular) possui uma estrutura que recebe a função
senoidal f (t) (60 Hz, 127 V) – que representa o sinal de energia acessível em uma tomada convencional
– e a chaveia, ou seja, "liga"e "desliga"o sinal dentro do seu período fundamental. Quanto mais tempo o
sinal está ligado, maior a energia fornecida pela fonte chaveada.
(a) Esboce o sinal de saída da estrutura de chaveamento descrita acima de forma que a senóide esteja
ligada durante metade do período. Em seguida, apresente a expressão analítica dessa função e os coeficientes
da sua Série de Fourier.
(b) Agora, faça o mesmo, mas para o caso em que a senóide fica ligada durante três quartos (3/4) do
seu período.
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