Questão resolvida - Uma partícula está sobre a ação de uma força dada por F(x,y)=(x²-y³)i+(sen(y)+x³)j. Esta partícula se move sobre a circunferência de equação x²+y²=1, dando uma volta completa no se

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma partícula está sobre a ação de uma força dada por 
. Esta partícula se move sobre a circunferência F x, y = x² - y³ + sen y + x³( ) ( )i ( ( ) )j
de equação , dando uma volta completa no sentido anti-horário. Nessas x² + y² = 1
circunstâncias, calcule o trabalho realizado pelo campo sobre a partícula.
 
Resolução:
 
Queremos encontrar o trabalho que um campo de força faz para mover uma partícula por 
sobre a circunferência de raio 2;
 
Vamos usar o teorema de Green que diz que;
 
Pdx + Qdy = - dA
C
∫ ∫∫ 𝜕Q
𝜕x
𝜕P
𝜕y
O trabalho da partícula é dado pelo produto escalar;
 
W = ⋅ d = x² - y³, sen y + x³ ⋅ dx, dy
C
∫ F r
C
∫ ( ( ) ) ( )
Resolvedo o produto escalar, fica;
 
-y, x ⋅ dx, dy = x² - y³ dx + sen y + x³ dy
C
∫ ( ) ( )
C
∫ ( ) ( ( ) )
 
 
x
y
1
Partícula
1
-1
-1
sentido 
anti-horário
𝜃
r
Usando o teorema de Green, podemos transformar a integral de linha em - ydy + xdx
C
∫
uma inegral dupla, para isso, vamos primeiro achar: ; e 
𝜕Q
𝜕x
𝜕P
𝜕y
 
Q = sen y + x³ = 3x e P = x² - y³ = - 3y ( ) →
𝜕Q
𝜕x
2
→
𝜕P
𝜕y
2
 
Agora, podemos chegar na igualdade de Green;
 
x² - y³ dx + sen y + x³ dy = 3x - -3y dA 3x + 3y dA
C
∫ ( ) ( ( ) ) ∫∫ 2 2 →∫∫ 2 2
Agora, tranformamos as variáveis para corrdenadas polares, fazendo;
x = rcos 𝜃( )
y = rsen 𝜃( )
 
 A variação da área dA é dada por; , o raio varia de de 0 a 2 e o ângulo vária de dA = rdrd𝜃
0 a , sendo estes os limites de integração, com isso, a integral dupla fica;2𝜋
 
3x + 3y dA = 3 rcos 𝜃 + 3 rsen 𝜃 rdrd𝜃∫∫ 2 2
0
∫
2𝜋 1
0
∫ ( ( ))2 ( ( ))2
= 3r cos 𝜃 + 3r sen 𝜃 rdrd𝜃 = 3r cos 𝜃 + sen 𝜃 rdrd𝜃
0
∫
2𝜋 1
0
∫ 2 2( ) 2 2( )2 )
0
∫
2𝜋 1
0
∫ 2 2( ) 2( )
Da identidade pitagorica; cos 𝜃 + sen 𝜃 = 1, substituindo;2( ) 2( )
 
3r ⋅ rdrd𝜃 = 3 r drd𝜃 = 3 d𝜃 = 3 - d𝜃
0
∫
2𝜋 1
0
∫ 2
0
∫
2𝜋 1
0
∫ 3
0
∫
2𝜋r
4
4 1
0 0
∫
2𝜋 1
4
( )4 0
4
( )4
 
= 3 d𝜃 = 3 ⋅ = 3 ⋅ - = 3 ⋅
0
∫
2𝜋1
4
𝜃
4
2𝜋
0
2𝜋
4
0
4
𝜋
2
 
W = 
3𝜋
2
 
 
(Resposta )