Aritmética e Teoria dos Números

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1Se S é um subconjunto não vazio dos inteiros e limitado inferiormente, então S possui um menor elemento. E a este elemento damos o nome de mínimo de S. Este axioma é definido como "Princípio da boa ordenação". Com base nas informações, analise as sentenças a seguir:
I- O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente e possui o 1 como menor elemento.
II- O conjunto S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} é limitado inferiormente e o mínimo de S é 2.
III- O conjunto M = {..., -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...} é limitado inferiormente e o mínimo de M é - 1.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença II está correta.
B
As sentenças I e III estão corretas.
C
Somente a sentença I está correta.
D
As sentenças I e II estão corretas.
2A união do conjunto dos números naturais com os números inteiros não positivos resulta no conjunto denominado de Conjunto dos Números Inteiros. Simbolicamente, escrevemos:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
De acordo com as definições e propriedades dos números inteiros, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O conjunto dos números inteiros não nulos é um subconjunto dos inteiros.
(    ) A operação de adição está bem definida, isto é, para cada par de números inteiros a e b existe um único inteiro c, denominado relação de ordem, que é representado por c = a + b.
(    ) Lei do Corte: se a + c = b + c, então a = b
(    ) O conjunto dos números inteiros não pode ser representado geometricamente.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - V - V - V.
B
V - F - F - F.
C
F - F - V - V.
D
V - F - V - F.
3Os sistemas decimal, hexadecimal, octal e binário são os sistemas de numeração mais comuns, sob o ponto de vista computacional (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2018). Contudo o sistema octal deu lugar ao sistema hexadecimal, devido às atuais necessidades dos recursos computacionais. De acordo com as características do sistema octal, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Quantidade de símbolos admissíveis: 8.
(    ) Símbolos admissíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
(    ) A conversão do valor 5461 na base 8 para a base decimal resulta em 2863.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
FONTE: TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas Digitais: Princípios e Aplicações. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2018.
A
F - V - F.
B
F - F - V.
C
V - F - V.
D
V - F - F.
4Em uma gincana de matemática que Ana está participando, a única questão que a menina acertou tinha o seguinte enunciado:
"Procure todos os números naturais que ao serem divididos por 5 resultam em quociente igual o dobro do resto."
Usando o procedimento da divisão euclidiana, logo a menina chegou na seguinte conclusão n = 5 . q + r e ainda q = 2 . r. Com base nas informações, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
I- O primeiro número procurado é 5.
II- 11, ao ser dividido por 5, resulta em quociente 2 e resto 1, sendo um dos números procurados.
III- O quinto número que atende ao requisito da questão é o 44.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - V - F.
B
V - F - F.
C
F - V - V.
D
V - F - V.
5O Princípio da Indução Matemática é um método dedutivo de demonstração, e tem como característica sua aplicação também nos números naturais. Contudo precisamos ter cuidado entre o provavelmente verdadeiro e absolutamente verdadeiro, pois nem sempre uma afirmação que funciona para uma certa quantidade de casos particulares será válida no geral. Considerando os passos utilizados na indução matemática, analise as sentenças a seguir:
I- Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural envolvido.
II- Supomos a igualdade verdadeira para um certo k e verificamos se ela continua verdadeira para k + 1, número consecutivo.
III- Concluímos que a igualdade é verdadeira para números primos.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I e III estão corretas.
B
Somente a sentença II está correta.
C
Somente a sentença III está correta.
D
As sentenças I e II estão corretas.
6Existem algumas técnicas para determinar a divisibilidade de um número. Essas técnicas ajudam em situações em que o número cuja divisibilidade a ser verificada é grande ou simplesmente não sabemos ao certo o que está acontecendo. Encontre o menor número natural de quatro algarismos distintos que seja divisível por 15. Com base nos seus cálculos, assinale a alternativa CORRETA:
A
1025.
B
1035.
C
1015.
D
1020.
7As propriedades iniciais da divisibilidade de números inteiros são ferramentas para resolver diversos tipos de problemas. Considerando alguma propriedades, analise as sentenças a seguir:
I- Se a é divisor de b e b é divisor de c então a é divisor de c.
II- Se a é divisor de b e b é divisor de a então a = b ou a = - b.
III- Se a é divisor de b e c é divisor de b, então a é divisor de c.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças II e III estão corretas.
B
As sentenças I e II estão corretas.
C
Somente a sentença I está correta.
D
Somente a sentença II está correta.
8Podemos garantir que o polinômio P(n)=n²+n+41, fornece apenas números primos? Observe a tabela abaixo, na qual estão listados alguns casos particulares e assinale a alternativa CORRETA:
A
O polinômio não funciona para n = 14.
B
A afirmação é verdadeira apenas para os primeiros 39 valores de n.
C
A afirmação se verifica para todo n maior ou igual zero.
D
Esse polinômio não é capaz de gerar um número primo.
9O algoritmo de divisão, também conhecido por algoritmo de Euclides, possibilita pensarmos da seguinte maneira: a = b . q + r (se a divisão for exata, não temos o resto). Quando b é divisor de a, podemos expressar esse fato de várias formas. Com base nas definições de divisibilidade e considerando uma divisão exata, analise as sentenças a seguir:
I - a é divisível por b.
II - b é um divisor de a.
III - a não é um múltiplo de b.
IV - A divisão de a por b tem resto 0.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença II está correta.
B
As sentenças I e III estão corretas.
C
As sentenças I, II e IV estão corretas.
D
Somente a sentença III está correta.
10Ao representar um número na base 2 as potências serão sempre de base dois e os algarismos só podem ser 0 e 1. Analisando a escrita do número 59 na base 2, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
A
V - F - F.
B
V - F - V.
C
F - F - V.
D
F - V - F.