P4_2005-1_Gabarito

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PROVA P4 FIS 1003/1004 – 23/06/2005 
MECÂNICA NEWTONIANA 
 
NOME:_______________________________ No:_________ 
TURMA:_______ 
 
QUESTÃO VALOR GRAU REVISÃO 
1 3,0 + 1,0 
2 3,5 
3 3,5 
TOTAL 10,0 
 
Dados: 
g = 10,0 m/s2 = 1000 cm/s2 
∆v = at; ∆r= ½ (v + vi) ∆t; ∆r= vi t + ½ at2; vf2= vi2 + 2a∆r (a = constante) 
∆ω = αt; ∆θ= ωi t + ½ αt2; ωf2= ωi2 + 2α∆θ (α = constante) 
v = ωr; at = αr 
I = Σ mi ri2; I = Icm + md2 
Ktot = ½ Icm ω2
 + ½ m vcm2 
ττττ = r × F; Ltransl = rcm × p; ptot = mvcm; Lrot = Iω 
Σ F = ma; Fc = m v2/r; Σ τ = Iα; Σ ττττext = dLtot/dt 
 
 
 
As respostas sem justificativas não serão computadas. 
Esta prova tem 4 folhas, contando com a capa. Confira. 
x
y
z
Sistema de 
coordenadas 
GABARITO 
 
(1a questão: 4,0 pontos) O bloco de massa 
m = 2,0 kg está sobre outro bloco de massa 
M = 10 kg como indica a figura. Há atrito entre 
os blocos (µe = 0,40 e µc = 0,30). Não há atrito 
entre o bloco inferior e o chão. Uma força 
externa (F = 12 N i) empurra o bloco de cima 
de forma que há deslizamento entre os blocos. 
 
 
a) Complete o diagrama de corpo livre do bloco de massa M (blo
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) Calcule o vetor aceleração do bloco de massa m (bloco de ci
 
∑ Fx = F i – Fat,c i = m am 
Fat,c = µc m g = 6,0 N 
am = (12 i – 6,0 i ) / 2,0 = 3,0 m/s2 i 
 
 
 
 
c) Calcule o vetor aceleração do bloco de massa M. 
 
∑ Fx = Fat,c i = M aM 
aM = 6,0 i / 10 = 0,6 m/s2 i 
 
 
 
 
 
 
 
d) Suponha agora que a força externa F seja dobrada para 24
aceleração do bloco de massa M. 
 
∑ Fx = Fat,c i = M aM 
aM = 6,0 i / 10 = 0,6 m/s2 i 
 
a força que move o bloco de baixo é a força de atrito cinético que
constante. 
 
 
Mg
N
m
M
F
chão
Nm 
Fat,c
(1,0) 
(1,0) 
(1,0) 
(1,0) 
co de baixo). 
2
ma). 
 N i. Calcule o vetor 
 permanece 
am = 3,0 m/s2 i 
aM = 0,6 m/s2 i 
a'M = 0,6 m/s2 i 
 3
(2a questão: 3,5 pontos) Duas massas m1 = 1,0 kg e m2 = 3,0 kg estão ligadas por 
uma haste rígida de comprimento L = 20 m e massa desprezível. As massas e a 
haste estão sobre o eixo Y, de tal modo que o centro de massa do conjunto 
encontra-se na origem do sistema de coordenadas. A massa m1 encontra-se na 
parte positiva deste eixo e a massa m2 na parte negativa. O conjunto está em 
repouso sobre uma superfície plana horizontal sem atrito. Todas as respostas devem 
ser dadas no sistema de coordenadas indicado na capa da prova, sendo XY o plano 
da superfície onde se apóia o conjunto. Trate as massas como partículas. 
 
a) Determine o vetor posição da partícula de massa m1 em relação à origem. 
 
RCM = 0 = [ m1 y1 j – m2 y2 j ] / [m1 + m2 ] 
y1 + y2 = L → y2 = L – y1 
m1 y1 – m2 ( L - y1 ) = 0 y1 = [m2 L ] / [m1 + m2 ] = 15 m 
 
 
b) No instante t=0,0 s começa a agir sobre a partícula de massa m1 a força 
F1 = 8,0 N j e sobre a partícula de massa m2 a força F2 = 4,0 N i – 4,0 N j . Nestas 
circunstâncias, determine o vetor posição do centro de massa do conjunto no 
instante t = 2,0 s. 
 
∑ F = M ACM 
FX = [ m1 + m2 ] AX FX = 4,0 N → AX = 1,0 m/s2 
Fy = [m1 + m2 ] AY FY = (8,0 – 4,0 ) N → AY = 1,0 m/s2 
rcm (t) = ½ AX t2 i + ½ AY t2 j 
t = 2,0 s → rcm = 2,0 m/s ( i + j ) 
 
c) Considere agora uma situação diferente, em que o conjunto está inicialmente em 
repouso mas não age sobre ele nenhuma força externa. O que acontece é uma 
explosão interna, que destrói a haste e faz com que as duas partículas adquiram 
uma energia cinética total de 6,0 J. Trata-se da energia cinética total, soma das 
energias cinéticas das duas partículas, e não da energia individual de cada partícula. 
Sabendo que depois da explosão, ao se afastarem uma da outra, as partículas 
continuam a se mover ao longo do eixo Y, determine o vetor velocidade de cada 
uma delas e do centro de massa do conjunto. 
 
P = 0 = constante, porque não há forças 
externas → ( m1 v1 + m2 v2 ) j = 0 → v2 = - m1 v1 / m2 
m1 v12 + m2 [-m1 v1 / m2 ]2 = 2E; m1 (1 + m1 / m2 ) v12 = 2E 
 → v1 = 3,0 m/s j 
 → v2 = - 1,0 m/s j 
 vcm = [m1 v1 + m2 v2 ] / [m1 + m2 ] = 0 
Uma vez que não há forças externas atuando, 
a velocidade do centro de massa, que era nula. 
inicialmente, permanece constante. 
r1 = 15 m j 
v1 = 3,0 m/s j 
v2 = - 1,0 m/s j 
rcm = 2,0 m ( i + j ) 
vcm = 0 
(0,8) 
(1,0) 
(1,7) 
 4
(3a questão: 3,5 pontos) Um carretel de momento 
de inércia ICM = 0,95 kg m2 está ligado por uma corda 
sem massa a uma caixa de massa M = 5,0 kg, como 
na figura. O carretel pode girar sem atrito, ao redor de 
seu eixo de simetria na horizontal. Os raios externo e 
interno são respectivamente R = 20 cm e r = 10 cm. A 
massa M é solta do repouso em t = 0,0 s. 
 
 
a) Calcule a aceleração do centro de massa da caixa. 
 
 
 
T = (ICM /r2) a; Mg – T = Ma → a = g / (1 + ICM /Mr2) 
 = 10 / (1 + 0,950 / (5 x 0,102)) = 0,5 m/s2. 
 
 
 
b) Calcule a energia cinética do sistema (carretel + caixa) em t = 3,0 s. 
 
 
 
 
Calculando ω para t = 3,00 s: v = at = 0,5 x 3,0 = 1,50 m/s 
→ ω = v/r = 1,5 / 0,1 = 15 rad/s. Assim, a energia cinética será dada por: 
K = ½ ICM ω2 + ½ Mv2 = ½ (ICM + Mr2)ω2 = ½ (0,950 + 5 x 0,102) 152 = 113 J. 
 
 
 
 
c) Calcule o módulo do momento angular do carretel em relação ao seu eixo em 
t = 3,0 s. 
 
 
L = ICM ω = 0,95 x 15 = 14,3 kg m2/s. 
 
 
acm = 0,5 m/s2 
K = 113 J 
L = 14,3 kg m2/s 
(1,5) 
(1,0) 
(1,0)