Transmissão de Calor em Aletas

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Aproximação Unidimensional 
para Condução de Calor 
em Superfícies Estendidas
Prof. Dr. Vicente Luiz Scalon
email: scalon@feb.unesp.br
Disciplina: Transmissão de Calor
DEM/FEB/UNESP/Bauru
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Aproximação Unidimensional de 
um Problema Bidimensional
Balanço energético:
qxdqx
E˙ s
=qxdqconv
E˙e
xdx
h ,T ∞
qxdqx
qx
dqconv
xdqx=dqconv
dqx=
d
dx −k⋅Asr⋅dTdx 
q x
⋅dx
dqconv=h⋅P⋅dx⋅T ∞−T  d
2T
dx2
− h⋅P
k⋅Asr
⋅T−T ∞=0
−k⋅Asr⋅
d 2T
dx2
=h⋅P⋅T ∞−T 
k e Asr constantes
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Condicionando a E.D.O.
● para homogeneizar a equação:
d 2
dx2
− h⋅P
k⋅Asr
⋅=0
=T−T ∞
d 
dx
= dT
dx
 d
2
dx2
= d
2T
dx2
d 2T
dx2
− h⋅P
k⋅Asr
⋅T−T ∞=0
m2 sendo que:
m= h⋅Pk⋅Asrd 2dx2 −m2⋅=0 ou  ' '−m2⋅=0
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Solução da E.D.O.
 ' '−m2⋅=0 sendo a solução geral: =A⋅exp b⋅x
As derivadas ficam: {  '=A⋅b⋅exp b⋅x ' '=A⋅b2⋅exp b⋅x e na EDO:
A⋅b2⋅expb⋅x −m2⋅A⋅exp b⋅x=0 b2−m2=0 ou b=±m
A solução final é resultado da combinação linear das raízes obtidas:
=C1 '⋅senh m⋅xC 2 '⋅cosh m⋅x
Uma solução equivalente em termos de funções hiperbólicas:
=C1⋅exp m⋅xC2⋅exp −m⋅x 
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Aplicação de Condição de 
Contorno na parede
x
x=0T  x=0=T b0=T b−T ∞=b 
0=C1⋅exp m⋅0C 2⋅expm⋅0
b=C1C 2
0=C1⋅senh m⋅LC 2⋅cosh m⋅L
x '
x '=L−x
=C 1⋅senh [m⋅L−x 
x '
]− C 2⋅cosh [m⋅L−x
x '
]
x=0T  x=0=T b0=T b−T ∞=b 
b=C1⋅senh m⋅LC 2⋅cosh m⋅L
A outra solução é utilizada uma orientação :
(Condição I)
(Condição II)
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A condição na outra ponta
● Aleta muito longa 
● Aleta sem troca de calor na ponta (adiabática)
● Aleta engastada a outra parede
● Aleta com convecção na ponta
Condições típicas na outra face:
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Aleta muito Longa
x∞T ∞=T ∞∣x∞=T ∞−T ∞=0 
∣x∞=C1⋅exp∞C 2⋅exp −∞
=0
=0  C1=0
Usando este resultado associado à Condição I :
b=C1C 2=C2  C 2=b
Assim, a solução para o perfil de temperaturas na aleta é:
 x=b⋅exp −m⋅x ou T  x−T ∞=T b−T ∞⋅exp−m⋅x
ou ainda:  x
b
=T x −T ∞
T b−T ∞
=exp−m⋅x
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Calor Dissipado em uma 
Aleta muito Longa
O fluxo de calor na aleta respeita a igualdade:
Calor que entra pela base porCondução =
Calor que 
é dissipado por
Convecção 
qdis=−k⋅Asr⋅dTdx
 ' x 
x=0
=∫0
L
h⋅P⋅T−T ∞
 x 
dx
Utilizando o “Calor que entra pela base por Condução”:
qdis=−k⋅Asr  '  x=0 sendo que  '  x =−m⋅b⋅exp−m⋅x
Assim:
qdis=−k⋅Asr⋅−m⋅b=k⋅Asr⋅ h⋅Pk⋅Asr⋅b=h⋅P⋅k⋅Asr⋅b
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Aleta com ponta adiabática
x=LT ' L=0 ' L=0 
usando  x=C1⋅senh [m⋅L−x]C2⋅cosh [m⋅L−x ]
 '  x=−m⋅{C 1⋅cosh [m⋅L−x ] C 2⋅senh [m⋅L−x]}
Assim  ' L=−m⋅[ C 1⋅cosh 0 C2⋅senh 0]=−m⋅C1 C1=0
Utilizando a Condição II:
b=C 2⋅cosh m⋅L  C2=
b
cosh m⋅L
A solução final fica:  x
b
=T x −T ∞
T b−T ∞
= cosh [m⋅L−x]
cosh m⋅L
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Calor Dissipado numa
Aleta com ponta adiabática
Novamente o “Calor que entra pela base por Condução” é:
qdis=−k⋅Asr  '  x=0
sendo que  '  x =−m⋅{ bcosh m⋅L⋅senh [m⋅L−x ]}
que substituída na equação acima:
qdis=k⋅Asr⋅ h⋅Pk⋅Asr⋅{ bcosh m⋅L⋅senh m⋅L}
qdis=h⋅P⋅k⋅Asrb
senh m⋅L
cosh m⋅L
=h⋅P⋅k⋅Asrb tanh m⋅L
Rearranjada, esta equação fica:
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Aleta engastada em outra 
parede com temperatura 
conhecida
x=LT L=T LL=T L−T ∞=L
usando  x=L=C 1⋅senh 0C 2⋅cosh 0  C2=L
Utilizando a Condição II:
b=C1⋅senh m⋅LL⋅cosh m⋅L
ou  x
b
=
T x −T ∞
T b−T ∞
=
L /b senh m⋅x senh [m⋅L−x]
senh m⋅L
 
 C1=
b−L⋅cosh m⋅L
senh m⋅L
 x
b
=
1−L /b⋅cosh m⋅L
senh m⋅L
⋅senh [m⋅L−x]
L
b
⋅cosh [m⋅L−x]
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Fluxo de Calor em
Aleta Engastada
Novamente o “Calor que entra pela base por Condução” é:
qdis=−k⋅Asr  '  x=0
sendo  '  x =m⋅b⋅{L /bcosh m⋅x−cosh [m⋅L−x]senh m⋅L }
que substituída na equação acima:
qdis=−k⋅Asr⋅ h⋅Pk⋅Asr⋅{L /b−cosh m⋅Lsenh m⋅L }
qdis=h⋅P⋅k⋅Asrb[ cosh m⋅L−L /bsenh m⋅L ]
Rearranjada, esta equação fica:
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Aleta com Convecção na ponta
x=L−k⋅T ' L=h⋅T L−T ∞−k⋅ ' L=h⋅L
 k⋅m⋅C1=h⋅C 2
Utilizando a Condição II:
b=C 2⋅[ hm⋅k senh m⋅Lcosh m⋅L]
Assim
 x 
b
=
T  x −T ∞
T b−T ∞
=
h /m⋅k ⋅cosh [m⋅L−x]senh [m⋅L−x ]
h/m⋅k senh m⋅Lcosh m⋅L
 
 C2=
b
h /m⋅k senh m⋅Lcosh m⋅L
 C1=
h
m⋅k
⋅C 2
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Calor Dissipado por
Aleta com Convecção na ponta
Novamente o “Calor que entra pela base por Condução” é:
qdis=−k⋅Asr  '  x=0
sendo  '  x=−m⋅b⋅{h /m⋅k ⋅cosh [m⋅L−x]sinh [m⋅L−x]h/m⋅k senh m⋅Lcosh m⋅L }
que substituída na equação acima:
qdis=k⋅Asr⋅ h⋅Pk⋅Asr⋅[ h /m⋅k ⋅cosh m⋅Lsinh m⋅Lh/m⋅k senh m⋅Lcosh m⋅L ]
qdis=h⋅P⋅k⋅Asrb[ hm⋅k⋅cosh m⋅Lsinh m⋅Lh
m⋅k
⋅senh m⋅Lcosh m⋅L ]
e rearranjada, esta equação fica:
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Aproximação Unidimensional 
para Condução de Calor 
em Superfícies Estendidas
(continuação)
Prof. Dr. Vicente Luiz Scalon
email: scalon@feb.unesp.br
Disciplina: Transmissão de Calor
DEM/FEB/UNESP/Bauru
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Efetividade de Aletas
 
=
qcom aleta
qsem aleta
Definição: É a relação entre o calor trocado pela 
superfície com a presença da aleta em relação ao 
valor sem a sua presença.
Para o caso de uma aleta infinita:
=h⋅P⋅k⋅Asr⋅b
h Asr T s−T ∞
b
=h⋅P⋅k⋅Asr
h Asr
 = k⋅Ph Asr
Assim sendo ≥1 - indicado 2
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Eficiência de uma Aleta
 
=
qreal
q ideal
=
qdis
h⋅Aconv⋅b
Definição: É a relação entre o calor trocado por 
uma aleta real e uma outra hipotética onde a 
temperatura é uniforme e igual à da base.
e como Aconv=P⋅L as expressões para os casos anteriores fica:
 aleta infinita: =h⋅P⋅k⋅Asr⋅b
h⋅P⋅L⋅b
= k⋅Asrh⋅P ⋅1L  = 1m⋅L
 ponta adiabática: = 
h⋅P⋅k⋅Asr⋅b⋅tanh m⋅L
h⋅P⋅L⋅b
  =tanh m⋅L
m⋅L
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Resistência Térmica 
de uma Aleta
Da definição de Resistência térmica:
Rter=
T
q
=
b
qdis
Usando expressões para o fluxo de calor anteriormente calculadas:
 aleta infinita: qdis=h⋅P⋅k⋅Asr⋅b Rter= 1h⋅P⋅k⋅Asr
 ponta adiabática: qdis=h⋅P⋅k⋅Asr⋅b tanh m⋅L
 Rter=
1
h⋅P⋅k⋅Asr tanh m⋅L
 eficiência de uma aleta: qdis=⋅h⋅Aconv⋅b  R ter= 1⋅h⋅Aconv
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Hipótese de Aleta Infinita
● A hipótese de aleta infinita depende é valida a partir 
da seção em que não há mais condução na direção 
normalà parede
● uma hipótese de teste é comparar o calor dissipado 
com uma aleta de ponta adiabática
● quando a diferença entre os dois fluxos de calor é 
menor que 1%, ela é considerada infinita
qiso
q∞
= h⋅P⋅k⋅Asr⋅b⋅tanhm⋅L∞
h⋅P⋅k⋅Asr⋅b
≥0,99m⋅L∞≥atanh0,99
2,65
 para que uma aleta se comporte como infinita: L≥2,65
m
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Trabalhando com aletas em 
paredes planas largas
● considere o caso que vai analisar a melhora 
na troca de calor por unidade de largura de 
uma parede plana
● supõe-se que a espessura tem tamanho 
desprezível em relação à sua largura, logo:
m= h⋅Pk⋅Asr= h⋅2Wt k⋅W⋅t  e se W≫t tem-se m= 2⋅hk⋅t
q∞=h⋅P⋅k⋅Asr⋅b=h⋅2 Wt ⋅k⋅W⋅t ⋅b e se W≫t tem-se:
 q∞W =q∞ '=2⋅h⋅k⋅t⋅b
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Comprimento Corrigido
● o comprimento corrigido é um artifício 
para se trabalhar com aletas que 
apresentam convecção como se 
fossem de ponta adiabática
 Lc
● desta forma a área da ponta é convertida numa 
extensão do seu comprimento .
● o comprimento é corrigido de maneira a se obter a 
mesma área de troca para aleta:
 Lc
Asr=P⋅ Lc   Lc=
Asr
P
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Comprimento Corrigido em 
Geometrias
  Lc=
Asr
P
=⋅D
2/4
⋅D
  Lc=
D
4
  Lc=
Asr
P
  Lc=
W⋅t
2Wt 
w
t
se W≫ t tem-se:  Lc=
W⋅t
2Wt    Lc=
t
2
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Aletas de Seção Transversal 
não Constante
● a solução da EDO utilizada não é válida pois 
área de seção reta não é constante
● a EDO, neste caso, é:
● ela deve ser resolvida dependendo das 
funções A(x) e P(x).
● soluções normalmente bastante complexas e, 
nestes casos especificamente, é usual se 
trabalhar com Gráficos de Rendimento.
d
dx Asr⋅d dx = hk⋅P  x ⋅
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Gráfico de Rendimento para 
Aletas Circunferenciais
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 1
 0  0.5  1  1.5  2  2.5
Re
nd
im
en
to
 ( 
  )
Lc^{3/2} sqrt{h/(k Lc t)}
R2c/R1
1
1.5
2
3
4
5
7.5
10
 Lc
3/2 hk⋅Lc⋅t 

R2c /R1
R2c=R2
t
2
Lc=R2c−R1
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Gráficos para Aletas 
Triangulares e Parabólicas