Apostila sobre exponencial de matrizes e cálculo funcional
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Apostila sobre exponencial de matrizes e cálculo funcional


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MAT1154
EXPONENCIAL DE MATRIZES E APLICAÇÕES A
SISTEMAS LINEARES DE EDO\u2019S
VERSÃO 1.3.2
Resumo. A exponencial de matrizes permite um tratamento unificado
dos sistemas de equações diferenciais lineares, sem cair em inúmeros ca-
sos. Explicamos também maneiras rápidas de calculá-la (o chamado Cál-
culo Funcional). Este texto complementa o Cap. 7 do Boyce\u2013DiPrima
(especialmente a Seç. 7.7).
Observação 1. As partes marcadas com \u22c6 ajudam a entender melhor o porquê das coisas,
porém são mais difíceis. Estas partes são dirigidas aos alunos mais curiosos ou que querem
maximizar o CR (em resumo, os mais nerds).
1. A exponencial de uma matriz quadrada
1.1. Definição. Lembremos que a função exponencial é dada pela seguinte
série de potências (série de Taylor):
expx = ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
A exponencial de uma matriz quadrada (n×n) é definida de forma parecida:
expA = eA = Id +A +
A2
2!
+
A3
3!
+ · · ·
Aqui Id é a matriz identidade n × n. Note que a fórmula faz sentido (isto
é, não estamos tentando fazer nada absurdo do tipo somar matrizes de ta-
manhos diferentes etc.) É possível demonstrar que a série sempre converge,
mas não temos conhecimento técnico para fazer isso aqui.
Exemplo 1.
exp
\u201e
5 0
0 3
«
=
\u201e
1 0
0 1
«
+
\u201e
5 0
0 3
«
+
1
2!
\u201e
52 0
0 32
«
+
1
3!
\u201e
53 0
0 33
«
+ · · ·
=
 
1 + 5 + 5
2
2!
+ 5
3
3!
+ · · · 0
0 1 + 3 + 3
2
2!
+ 3
3
3!
+ · · ·
!
=
\u201e
e5 0
0 e3
«
.
Omesmo tipo de conta mostra que, mais geralmente, a exponencial de uma matriz diagonal
2× 2 é dada por:
exp
\u201e
\u3bb1 0
0 \u3bb2
«
=
\u201e
e\u3bb1 0
0 e\u3bb2
«
.
Date: 24 de Maio de 2011.
1
EXPONENCIAL DE MATRIZES . . . 2
(Vale algo análogo para matrizes n× n.)
Exemplo 2. Seja A =
\u201e
0 \u22125
5 0
«
. Calculando as potências de A, encontramos um padrão.
[Faça isso.] Aí temos:
expA = Id + A+
A2
2!
+
A3
3!
+ · · ·
=
\u201e
1 0
0 1
«
+
\u201e
0 \u22125
5 0
«
+
1
2!
\u201e\u221252 0
0 \u221252
«
+
1
3!
\u201e
0 53
\u221253 0
«
+
1
4!
\u201e
54 0
0 54
«
+ · · ·
=
 
1\u2212 52
2!
+ 5
4
4!
+ · · · \u22125 + 53
3!
+ · · ·
5\u2212 53
3!
+ · · · 1\u2212 52
2!
+ 5
4
4!
+ · · · · · ·
!
=
\u201e
cos 5 \u2212 sin 5
sin 5 cos 5
«
.
Na última passagem, usamos as séries de Taylor das funções co-seno e seno:
cos \u3b8 = 1\u2212 \u3b8
2
2!
+
\u3b84
4!
\u2212 \u3b8
6
6!
+ · · ·
sin \u3b8 = \u3b8 \u2212 \u3b8
3
3!
+
\u3b85
5!
\u2212 \u3b8
7
7!
+ · · ·
Uma conta análoga à feita acima mostra que, mais geralmente:
exp
\u201e
0 \u2212\u3b8
\u3b8 0
«
=
\u201e
cos \u3b8 \u2212 sin \u3b8
sin \u3b8 cos \u3b8
«
(esta é uma matriz de rotação).
Exercício 1. Mostre a partir da definição que
exp
\u201e
\u3bb µ
0 \u3bb
«
=
\u201e
e\u3bb µe\u3bb
0 e\u3bb
«
.
Exercício 2 (\u22c6). Googleie \u201chyperbolic functions\u201d (ou consulte seu livro de cálculo). Mos-
tre a partir da definição de matriz exponencial que:
exp
\u201e
0 x
x 0
«
=
\u201e
cosh x sinhx
sinh x cosh x
«
Para matrizes em geral, não é muito prático tentar calcular a exponencial
a partir da definição. Veremos mais tarde maneiras eficientes de fazer essa
conta.
1.2. Algumas propriedades. A propriedade mais útil da exponencial é a
seguinte:
Teorema 1.
d
dt
etA = A · etA = etA ·A
(t é um escalar, e ponto indica multiplicação de matrizes).
EXPONENCIAL DE MATRIZES . . . 3
Demonstração. 1:
d
dt
etA =
d
dt
(
Id + tA +
t2A2
2!
+
t3A3
3!
+
t4A4
4!
+ · · ·
)
= 0 +A +
2tA2
2!
+
3t2A3
3!
+
3t3A4
4!
+ · · ·
= A+
tA2
1!
+
t2A3
2!
+
t3A4
3!
+ · · ·
= A
(
Id +
tA
1!
+
t2A2
2!
+
t3A3
3!
+ · · ·
)
ou
(
Id +
tA
1!
+
t2A2
2!
+
t3A3
3!
+ · · ·
)
A
= A · etA ou etA · A . \ufffd
Observação 2. O Teorema 1 no contexto da exponencial usual (\u201cescalar\u201d) evidentemente
também vale e é uma propriedade familiar e importante. Porém, aqui vai uma advertência:
Nem toda propriedade da função exponencial usual vale para a exponencial matricial. Por
exemplo, não é verdade que eA+B = eA · eB, em geral!
Exercício 3 (\u22c6). Encontre um contra-exemplo. \u2013 Talvez seja melhor deixar para fazer
este exercício depois que você aprender métodos mais eficientes de calcular exponencial
de matrizes.
Dica: Uma explicação do \u201cparadoxo\u201d é a seguinte\u2019: Se A e B são tais que eA+B =
eA · eB então as matrizes eA e eB comutam, pois eA+B certamente é igual a eB+A. Mas
\u201cgeralmente\u201d duas matrizes não comutam. . . 2
Outra propriedade interessante e que nos será útil em breve é a seguinte:
Teorema 2. Se \u3bb é um autovalor da matriz A então e\u3bb é um autovalor da
matriz eA.
Demonstração. Exercício (\u22c6): basta usar as definições e fazer umas contas.
\ufffd
Corolário 3 (\u22c6). det eA = etrA.
Demonstração. O determinante de uma matriz é o produto dos autovalores,
e o traço é a soma. . . \ufffd
2. Aplicação a equações diferenciais
2.1. Sistemas homogêneos. Vimos que sistemas lineares (com coeficientes
constantes) homogêneos de EDO\u2019s podem ser escritos na forma:
Y \u2032(t) = A · Y (t).
Aqui Y (t) é um vetor-coluna que depende de t, e A é uma matriz quadrada
fixa (constante).
1Esta prova é um pouco trapaceira, pois falta justificar porque é válido derivar uma
série termo a termo. Não temos condições de dar essa justificativa aqui.
2Na verdade, é possível mostrar que se A e B comutam então vale a fórmula eA+B =
eA ·eB . Mais ainda (\u22c6\u22c6): existe uma fórmula geral (correta) que dá a diferença entre eA+B
e eA · eB em função da \u201cnão-comutatividade\u201d entre A e B \u2013 googleie \u201cBaker Campbell
Hausdorff\u201d.
EXPONENCIAL DE MATRIZES . . . 4
Usando exponencial de matrizes, poderemos encontrar as soluções dessa
equação de maneira unificada (que não depende dos autovalores etc). Antes
de ver isso, lembremos o que acontece quando as matrizes são todas 1 × 1,
i.e. números: a solução geral da EDO y\u2032(t) = ay(t) é y(t) = ceat. Além disso,
c = y(0).
Teorema 4. A solução do PVI{
Y \u2032(t) = A · Y (t)
Y (0) = Y0
é
Y (t) = etA · Y0 .
A matriz etA é chamada matriz fundamental do sistema de EDO\u2019s (veja
Boyce\u2013DiPrima, Seção 7.7).3
Exemplo 3. Considere o sistema\uf6be
y\u20321 = y2
y\u20322 = \u2212y1 isto é, Y
\u2032(t) =
\u201e
0 1
\u22121 0
«
· Y (t) .
O campo de direções é o seguinte:
A exponencial da matriz tA =
\u201e
0 t
\u2212t 0
«
foi calculada no Exemplo 2. Assim, pelo
Teorema 4, a solução geral é
Y (t) =
\u201e
cos t sin t
\u2212 sin t cos t
«
·
\u201e
c1
c2
«
.
Lembrando que o efeito da matriz
\u201e
cos \u3b8 \u2212 sin \u3b8
sin \u3b8 cos \u3b8
«
é uma rotação de ângulo \u3b8 (no
sentido anti-horário), vemos que as soluções do sistema de EDO\u2019s ficam rodando em
círculos (no sentido horário), com frequência angular 1. Você pode comprovar isto
usando o comando de MAPLE:
> with(DEtools): DEplot({diff(y1(t),t)=y2(t), diff(y2(t),t)=-y1(t)},
> [y1(t),y2(t)], t=0..2*Pi, y1=-1..1, y2=-1..1, [[y1(0)=.8, y2(0)=0]],
> animatecurves=true);
3Como explicado lá, é útil enxergar M(t) = etA como solução do PVI M \u2032(t) = A ·M(t),
M(0) = Id.
EXPONENCIAL DE MATRIZES . . . 5
Observação 3. Vimos em aula através de exemplos que vale a seguinte regra: Se uma
matriz A tem todos os autovalores \u3bb1, . . . , \u3bbk com parte real negativa então a origem é
um ponto de equilíbrio atrator da EDO Y \u2032(t) = A · Y (t). Isso acontece porque nesse caso
a matriz etA tende a zero quando t\u2192 +\u221e. De fato, pelo Teorema 2 os autovalores de etA
são e\u3bb1t, . . . , e\u3bbkt, os quais tendem a zero quando t\u2192 +\u221e.4
Observação 4 (\u22c6). O que acontece para coeficientes não-constantes? Lembre que a
solução do PVI \uf6be
y\u2032(t) = a(t)y(t)
y(0) = y0
é y(t) = y0 exp
\u201cR t
0
a(s) ds
\u201d
. Baseado nisso, poderíamos chutar que a solução do PVI\uf6be
Y \u2032(t) = A(t) · Y (t)
Y (0) = Y0
é Y (t) = exp
\u201cR t
0
A(s) ds
\u201d
· Y0. Porém, isso é falso!5
Exercício 4 (\u22c6\u22c6). Encontre um contra-exemplo.
Dica: Note que se a fórmula fosse verdadeira teríamos uma certa propriedade de comuta-
tividade na família de matrizes A(t). . .
Exercício 5 (\u22c6). Suponha que todas as soluções do sistema Y \u2032 = AY satisfazem Y (1) =
\u2212Y (0)/5. Determine os autovalores de A.
Resposta: \u2212 ln 5± k\u3c0i, onde k é um inteiro ímpar.
Observação 5 (\u22c6 Relação com o Wronskiano). Considere uma EDO linear homogênea
de 2a ordem:
(1) y\u2032\u2032 + py\u2032 + qy = 0.
Se y1(t), y2(t) formam um conjunto fundamental de soluções então o Wronskiano desse
conjunto é definido como
(2) W (t) = det
\u201e
y1(t) y2(t)
y\u20321(t) y
\u2032
2(t)
«
.
Vejamos a relação do Wronskiano com a matriz exponencial. A equação (1)