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SALA: 214 Cálculo Diferencial e Integral B Sexta Feira 6a Aula Integrais indefinidas Integração por frações parciais Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 Turma: MEC108AN Prof. HANS-ULRICH PILCHOWSKI Versão: 1o Semestre de 2009 Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 1 Integração pelo método das frações parciais a) Considere a integral ( ) ( )( )( )∫∫ −− + = ++ + = 10 2 xxxx dxmnx cbxax dxmnxy , Assim, ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) cbxax xBxAxBA xxxx xxBxxA xx B xx A xxxx mnx ++ −−+ = −− −+− = − + − = −− + 2 01 10 01 1010 donde ( ) − + = − + −= ⇒ − + = −= ⇒ =−−− −= ⇒ =−− =+ 01 1 01 0 01 1 0101 xx xnm B xx nxm A xx xnm B BnA mxBxBn BnA mxBxA nBA Portanto, ( ) ( ) ( )10 10 2 xxlnBxxlnAxx Bdx xx Adx cbxax dxmnxy −+−= − + − = ++ + = ∫∫∫ Exemplo: : integrar ( ) ( )( )( )∫∫ −+ + = −− + = 21 2 2 2 2 xx dxx xx dxxy , Assim, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 21 12 2121 2 2 −− −++ = −+ ++− = − + + = −+ + xx BAxBA xx xBxA x B x A xx dxx donde ( ) ( )( ) ( )( ) −= − = = − + −= ⇒ − + = −= ⇒ =−− −= ⇒ =− =+ 3 1 3 3 1 112 21 112 1 212 1 22 1 1 B A B BA BB BA BxA BA Portanto, ( ) ( ) ( ) ( )( )2 132313 2 3 1 3 2 2 2 + − =+−−= + − − = −− + = ∫∫∫ x xlnxlnxln x dx x dx xx dxxy Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 6a Aula Integração por frações parciais 2 Exercício: integrar ( )( )dxxx xy ∫ −− − = 21 12 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ ∫∫ −− −+− = − + − = −− − = dx xx xbxA x Bdx x Adxdx xx xy 21 12 2121 12 ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ −− +−+ = −− − = dx xx BAxBAdx xx xy 21 2 21 12 donde ( ) ( ) 12 2 212 =+ =+ ⇒+−+=− BA BA BAxBAx 121 12 11 1 2 12 11 1 2 2 −=−==⇒=⇒ = D BA BA ( ) ( ) 341 1 1 12 211112 1 1 11 121 =− − ==−=− − == D Be D A Assim, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ ∫ −+−−=−+− − = − + − = 2 3 12 3 1 1 21 x dx x dx x dx x dx x Bdx x Adxy ( ) ( ) ( ) ( )1232313 −−−=−+−−=+−= ∫ ∫ xnxnxnxnv dv u duy llll ( ) ( ) ( ) C x x nxnxny + − − =−−−= 1 212 3 3 lll Exercício: integrar ( ) ( )( )( )∫∫ −+ += −− + = 21 1 2 1 2 23 2 xxx dxx xxx dxxy , Assim, ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )21 1212 210210 2 −+ ++−++− = − + + + − = −+− + xxx xxCxxBxxA x C x B x A xxx dxx ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) xxx AxCBAxCBA xxx dxx 2 22 210 2 23 2 −− −+−−+++ = −+− + donde Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 3 −= = = ⇒ −= −= = ⇒ =− =+−− =++ 21 65 32 21 212 32 12 02 1 A C B A BC B A CBA CBA Portanto, ( ) ( ) ( ) ( ) Cxxx x dx x dx x dx xxx dxxy +−++−= + + − +−= −− + = ∫∫∫∫ ln2 12ln 3 21ln 6 5 23 2 16 5 2 1 2 1 23 2 Exercício: integrar ( )( ) ( )∫ −+ + = 21 2 2 2 xx dxxy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ −++++=−+ + = 21121 2 2 2 2 3 2 x Bdx x dxA x dxA xx dxxy Exercício: integrar ( )( )∫ −+= 112 xx xdxy ( )( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −++ + = −+ = 1111 22 x Cdx x dxBAx xx xdxy Exercício: integrar ( )( ) ( )∫ +−+ ++++ = 132 812114 22 234 xxx dxxxxxy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ++−+ + + −+ + = +−+ ++++ = 13232132 812114 22222 234 x Fdx xx dxDCx xx dxBAx xxx dxxxxxy Exercício: integrar ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) Cxx xy xxx xdxy + ++ + =⇒ +++ = ∫ 35 3ln 8 1 331 5 6 Exercício: integrar ( ) ( )( ) Cx xx x xxy xx dxxxy + + − +−+=⇒ − −+ = ∫ 3 5223 3 45 2 2ln4 234 8 3a LISTA DE EXERCÍCIOS Exercícios a serem entregues na 7a aula: em 27.03.2009, no momento em que entrar na sala de aula Integrar as seguintes funções pelo método das frações parciais Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 6a Aula Integração por frações parciais 4 1o Exercício: ( ) ( )dxxx xy ∫ −⋅− − = 21 12 2o Exercício: ( )∫ += 12xx dxy
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