Números Complexos: Resumo e Operações

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Matemática 
 
Números Complexos 
 
Resumo 
 
Os conjuntos dos números complexos ( ) é mais abrangente que o conjunto dos números reais ( ). Esse 
conjunto surgiu após diversos estudos, principalmente após tentativas de se resolver equações do segundo e 
do terceiro grau, pois os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem 
ser expressas no conjunto dos números reais. Para os mais íntimos, dizemos que números complexos são 
números de duas dimensões. Legal, não é? 
 
Forma Algébrica 
Todo número complexo z pode ser escrito de maneira única na forma: 
 
z a bi= + ( , , ² 1)a b i  = − 
 
Essa é a forma algébrica de se escrever um número complexo. Observe que um número complexo tem 
duas partes: 
 
Partes real: Re(z) = a 
Parte imaginária: Im(z) = b 
 
• i é a unidade imaginária, tal que 𝑖2 = −1; 
• Como 𝑖2 = −1, podemos definir i como 1i = − ; 
 
Potências de i 
Usando propriedades já conhecidas de potenciação e sabendo que 1i = − , temos: 
 =

=

= −
 = −
0
1
2
3
1
1
i
i i
i
i i
` 
A partir da potência i4 as outras vão se repetindo de 4 em 4. Por isso, para calcularmos in (n um número 
inteiro qualquer iremos dividir o expoente n por 4 e o resto será a potência que usaremos. 
Ex.: Calcule o valor de i247. 
Como dito, dividindo 247 por 4, encontramos resto 3. Ou seja: 
247 1³i i= = − 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Operações com números complexos na forma algébrica, conjugado 
 
Adição de números complexos 
Para a adição de números complexos, somamos as partes reais de cada número e depois as partes 
imaginárias. Se z1=a+bi e z2=c+di, a soma de z1 e z2 será: 
 
Subtração de números complexos 
Para a subtração de números complexos, diminuímos as partes reais de cada número e depois as 
partes imaginárias. 
Se z1=a+bi e z2=c+di, a subtração de z1 e z2 será: 
 
 
Multiplicação de números complexos 
Para a multiplicação dos números complexos, multiplicamos cada termo do primeiro número por todos 
os membros do segundo número. 
Assim: Se z1=a+bi e z2=c+di, a multiplicação de z1 e z2 será: 
 
 
Conjugado de um número complexo 
Seja um número complexo: z a bi= − , seu conjugado será 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , para obtê-lo apenas trocamos 
o sinal da parte imaginária do número, ou seja, a parte real permanece igual e as imaginárias são simétricas. 
Assim, o conjugado de z é dado por a bi+ . 
 
Divisão de números complexos 
Para a divisão de números complexos, multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. 
Obs: Quando multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real. 
Se z1 = a + bi e z2 = c + di, a divisão de z1 e z2 será: 
 
 
 
 
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Matemática 
 
 
Forma trigonométrica 
 
Plano de Argand-Gauss 
Os números complexos podem ser representados de diversas formas, até aqui vimos a forma algébrica 
a + bi. Outra maneira de representar é em um sistema de coordenadas em um plano cartesiano. Esse sistema 
de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss, no eixo horizontal ficam as partes reais dos números 
complexos e o no eixo vertical, as partes imaginárias. Diz-se que o ponto P (a,b) é o afixo do número complexo 
a + bi. 
 
 
Módulo de um número complexo: |𝒛|𝒐𝒖 𝝆 
O segmento de reta OP é chamado de módulo do número complexo, representado por |z| ou 𝜌. O ângulo 
entre o eixo Ox e o segmento OP é chamado de argumento de Z, representado por . 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras teremos: 
 
Então: 
 
 
 
 
Argumento de Z 
No Triângulo retângulo formado pelos vértices AOP, temos que: 
 
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 
𝑏
𝜌
 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 
𝑎
𝜌
 
 
Sendo θ o argumento de Z e b = 𝜌. 𝑠𝑒𝑛𝜃 e a= 𝜌. 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
Reescrevendo z = a+b.i ficamos com: 
𝑧 = 𝜌. (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛𝜃) 
 
𝑧 = 𝜌 (𝑐𝑖𝑠𝜃) e essa é a forma trigonométrica. 
 
Operações na forma trigonométrica 
Sendo 𝑧1 = 𝜌1 . 𝑐𝑖𝑠𝜃1 e 𝑧2 = 𝜌2 . 𝑐𝑖𝑠𝜃2 
 
Multiplicação 
𝑧1 . 𝑧2 = 𝜌1 . 𝜌2 . 𝑐𝑖𝑠(𝜃1 + 𝜃2) 
 
Divisão 
𝑧1
𝑧2
= 
 𝜌1
𝜌2
 [𝑐𝑖𝑠(𝜃1 − 𝜃2)] 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Operações na forma trigonométrica 
Sendo 
1 1 1 1
z z (cos i.sen )=  +  e 
2 2 2 2
z z (cos i.sen )=  +  
 
Multiplicação 
1 2 1 2 1 2 1 2
z z z z (cos( ) i.sen( ))=  +  +  +  
 
Divisão 
11
1 2 1 2
2 2
zz
(cos( ) i.sen( ))
z z
=  −  +  −  
 
1ª lei de moivre 
Dados um número complexo não nulo Z = ρ(cosθ + isenθ) e o número n ∈ ℕ. Podemos fazer a seguinte 
operação: 
 
 
 
Generalizando, temos que: 
 
Essa relação é chamada de primeira lei de Moivre em Homenagem ao matemático francês Abragan De Moivre. 
Ela também, é valida para expoentes inteiros negativos. 
 
2ª lei de Moivre 
Dado um número complexo z = a + bi e o número complexo u tal que un = z. Chamamos u de raiz de z. Para 
encontrar seu valor, usando a fórmula: 
 
 
Essa relação é conhecida como 2ª lei de Moivre. 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Exercícios 
 
1. Dentro do conjunto dos números complexos, o conjunto solução da equação 
2 625 0x + = é 
a) 𝑆 = {−5,5} 
b) 𝑆 = {−25,25} 
c) 𝑆 = {−5𝑖, 5𝑖} 
d) 𝑆 = {−25i, 25i } 
e) 𝑆 = ∅ 
 
 
2. No plano complexo, temos uma circunferência  de raio 2 centrada na origem. Sendo ABCD um 
quadrado inscrito à  , de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o número complexo que 
representa o vértice B é 
 
a) 
1 3
2 2
i− +
 
b) 3 i− − 
c) 1 3i− + 
d) 
1 3
2 2
i− −
 
e) 
3 1
2 2
i− +
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
3. Dados os números complexos ( )1 2, 1z = − e ( )2 3,z x= , sabe-se que 1 2z z  . Então, x é igual a 
a) – 6 
b) 
3
2
− 
c) 0 
d) 
3
2
 
e) 6 
 
 
4. Sabe-se que 2 2i− + é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-
Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual a 
a) ( )4 3 1+ 
b) 6 3 
c) ( )8 3 1− 
d) 10 3 
e) 12 3 
 
 
5. No conjunto dos números complexos, considere a progressão geométrica cujo primeiro termo é igual 
a 1 + i e a razão é igual a i, onde i é o número complexo tal que 
2 1i = − . Observa-se que, dentre os 
termos dessa progressão, existem apenas n números complexos distintos. Então, n é igual a 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
6. Na figura abaixo, está representado, no plano complexo, um hexágono regular cujos vértices são 
imagens geométricas das n raízes de índice n de um número complexo Z. 
 
O vértice A tem coordenadas ( -1, 1). Qual dos seguintes números complexos tem por imagem 
geométrica o vértice D? 
a) 
3 3
2 cos
4 4
isen
     
+    
    
 
b) 
17 17
2 cos
12 12
isen
     
+    
    
 
c) 
17 17
2 2 cos
12 12
isen
     
+    
    
 
d) 
7 7
2 cos
4 4
isen
     
+    
    
 
e) 
13 13
2 cos
12 12
isen
     
+    
    
 
 
 
7. Considere os números complexos 1z a bi= + , 2z b ai= − + e 3 3z b i= − + , com a e b números 
inteiros. Sabendo que 1 2 3 0z z z+ + = , o valor de 
3
2
1
z
z
 
 
 
é igual a 
a) 1 
b) -1 
c) –i 
d) i 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
8. O quociente entre os números complexos 1 1z i= + e 2 1z i= − é 
a) 1 
b) i 
c) 0 
d) 2 
e) 2i 
 
9. Em relação ao número complexo ( )87 105 3z i i= + é correto afirmar que 
a) Sua imagem pertence ao 3° quadrante do plano complexo. 
b) É imaginário puro. 
c) O módulo de z é igual a 4. 
d) Seu argumento é igual ao argumento do número complexo 
1 3
2 2
v i= − . 
 
 
10. Sejam z e v números complexos onde 1z = e v tem coordenadas no plano Argand-Gauss 
2 2
,
2 2
 
  
 
 . Sobre o número complexo z v (resultante da multiplicação dos complexos z e v), 
podemos afirmar que 
a) Sempre é um número real. 
b) Sempre temmódulo igual a 2. 
c) Sempre é um número imaginário puro. 
d) Pertence à circunferência 
2 2 1x y+ = . 
e) Sempre tem argumento igual a 
4

 . 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Gabarito 
 
1. D 
 
 
2. C 
 
 
3. D 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
4. E 
 
 
 
5. A 
 
 
 
 
 
 
12 
Matemática 
 
6. D 
 
 
7. C 
 
 
8. B 
 
 
9. D 
 
 
 
 
 
 
13 
Matemática 
 
10. D