Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A=(1,0,0) e B=(0,1,0).

Uma vez que o plano π é perpendicular à reta que une os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0), o vetor normal n₁ do plano π é:

-> n₁ = A - B

-> n₁ = (1, 0, 0) - (0, 1, 0)

-> n₁ = (1, -1, 0)

E o vetor normal n₂ do plano 2x - y + 4z - 1 = 0 é:

-> n₂ = (2, -1, 4)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

O ângulo θ entre o plano π e o plano 2x - y + 4z - 1 = 0 é igual ao ângulo entre os vetores n₁ e n₂.

Com isso, tem-se a seguinte equação:

-> |n₁| · |n₂| cos θ = n₁ · n₂

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Substituindo os termos e fazendo o produto escalar, o valor de θ é:

-> | (1, -1, 0) | · | (2, -1, 4) | cos θ = (1, -1, 0) · (2, -1, 4)

-> √( 1² + (-1)² + 0² ) · √( 2² + (-1)² + 4² ) cos θ = ( 1·2 + (-1)·(-1) + 0·4 )

-> √( 1 + 1 + 0 ) · √( 4 + 1 + 16 ) cos θ = ( 2 + 1 + 0 )

-> √( 2 ) · √( 21 ) cos θ = 3

-> √( 42 ) cos θ = 3

-> cos θ = 3 / √( 42 )

-> cos θ = 0,463

-> θ = 62,425°

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Solução: θ = 62,425°.

Se gostou, dá um joinha!