Esboce o gráfico da função y= x / ( x - 1)^2

Ah, isso vai ser grandinho!...

Sendo assim, eu vou dividir a resposta em várias partes pra não ficar uma só postagem gigante.

Primeiro: Tratando a função original

y = x / (x - 1)^2

• Como o denominador se anula para x = 1, o domínio da função é o conjunto dos reais menos 1, ou, mais formalmente, R \ {1}.
  

   

• Para fazer o estudo do seu sinal, vê-se que o denominador é sempre positivo porque está elevado ao quadrado. O numerador é negativo quando x < 0, e positivo quando x > 0. Claramente, x = 0 é a sua raiz. Assim, y é positivo quando x > 0, zero quando x = 0, e negativo quando x < 0 (bem óbvio mas eu tive que escrever para ficar completo).

   

• Assíntotas verticais: quando x tende a 1 pela direita, o denominador tende a 0+, gerando um limite igual a +inf. Quando x tende a 1 pela esquerda, graças ao quadrado, o limite também é igual a +inf. Logo, há uma assíntota vertical em x = 1, e y tende a +inf nos dois lados.

   

• Assíntotas horizontais: fazendo x -> +inf, y -> 0 (grau do denominador maior que do numerador e blá blá blá). A mesma coisa quando x -> - inf. Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal. Isso significa apenas que, "andando muito" para a direita, o gráfico de y vai tendendo para 0, e o mesmo acontece quando se "caminha demais" para a esquerda.

Segunda parte: tratando a derivada (se não souber como derivar essa função, a gente cria outra mensagem, tem problema não!)

y' = - (x + 1)/(x - 1)^3

• Seu domínio é R \ {1}, como o da original.

   

• Pontos críticos: o numerador se anula quando -(x + 1) = 0, ou seja, quando x = -1. A derivada não existe quando x = 1, mas este ponto está fora do domínio original, portanto não conta como ponto crítico. Assim, o único candidato a máximo ou mínimo é x = -1. Para descobrir isso, deve-se, a rigor, fazer o teste da derivada segunda. Porém, neste caso, é possível simplificar nossa vida fazendo um estudo do sinal desta função.

   

• Estudo do sinal:

  * Numerador:

  -(x + 1) > 0

  -x > 1

  x < -1

  Logo, quando x < -1, ele é positivo, e negativo quando x > -1.
  
  

  * Denominador:

   

  (x - 1)^3 > 0

   

  Como o "cubo" faz negativos continuarem negativos e o mesmo com positivos, dá pra fingir que ele não está lá e focar apenas no termo de dentro:

   

  x - 1 > 0

   

  x > 1

   

  Logo, o denominador é positivo quando x > 1, e negativo quando x < 1
  
  

  * Combinando os casos:

   

  Tentei colocar uma tabela malfeita indicando os possíveis casos. A ideia é separar os intervalos onde o numerador é positivo e negativo, o mesmo para o denominador, e "combinar" os casos (+ com + dá +, + com - dá -, e - com - dá +). Lembre, claro, que a função não está definida para x = 1.

   

   

   

                  ____ -1 ____ 1 ____

   

  -(x+1)        +            -             -

   

  (x - 1)^3    -            -             +

   

  ---------------------------------------

   

  y'                  -            +             -

   

   

  O que esta tentativa de tabela diz é que a derivada é negativa para x de -inf a -1, positiva entre -1 e 1, e negativa daí em diante. Na função original, isso significa que ela é decrescente de -inf a -1, começa a crescer de -1 a +1, e volta a decrescer de 1 a +inf.

   

  Ora, se a função vem caindo até -1 e começa a subir a partir daí, este ponto é, claramente ("salta aos olhos", "é simples de ver", e outros chavões de livros), um mínimo local.

Em teoria, isso é tudo que foi pedido. Também é possível calcular a derivada segunda e encontrar os pontos de inflexão para saber onde a função muda de concavidade, e tal. No caso deste exercício, apenas a derivada primeira já é suficiente com todas as informações pedidas.

Em resumo:

• Pontos críticos: x = -1, que é um mínimo local;
• Intervalos de crescimento e decrescimento:
  Decresce de -inf a -1;
  Cresce de -1 a +1;
  Volta a decrescer de +1 a inf.
• Assíntotas: (não pediu mas eu quis colocar)
  Uma vertical em x = 1;
  Uma horizontal em y = 0.

O gráfico final fica uma coisa desse tipo (tive que pôr um link aqui porque não sei como fazer upload de arquivos, se é que dá! Espero que consiga abrir!)

https://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e4bciuoahsa