Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área total é 36√3 cm³ e o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm.

Para determinar a altura de uma pirâmide triangular regular, podemos usar a fórmula da área total da pirâmide, que é dada por: Área Total = Área da Base + Área Lateral No caso de uma pirâmide triangular regular, a área da base é dada pela fórmula: Área da Base = (lado da base)^2 * √3 / 4 Sabendo que o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm, podemos encontrar o lado da base da pirâmide usando a fórmula: lado da base = 2 * raio Substituindo esses valores na fórmula da área da base, temos: Área da Base = (2 * raio)^2 * √3 / 4 Área da Base = 4 * raio^2 * √3 / 4 Área da Base = raio^2 * √3 Agora, podemos substituir a área total e a área da base na fórmula da área total da pirâmide: 36√3 = raio^2 * √3 + Área Lateral Como a pirâmide é regular, todas as faces laterais são triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula: Área do Triângulo Equilátero = (lado)^2 * √3 / 4 No caso da pirâmide, o lado do triângulo equilátero é igual ao lado da base. Portanto, podemos escrever: Área Lateral = 3 * (lado da base)^2 * √3 / 4 Substituindo o valor do lado da base, temos: Área Lateral = 3 * (2 * raio)^2 * √3 / 4 Área Lateral = 3 * 4 * raio^2 * √3 / 4 Área Lateral = 3 * raio^2 * √3 Agora, podemos substituir as fórmulas da área da base e da área lateral na fórmula da área total da pirâmide: 36√3 = raio^2 * √3 + 3 * raio^2 * √3 Simplificando a equação, temos: 36√3 = 4 * raio^2 * √3 Dividindo ambos os lados por √3, temos: 12 = 4 * raio^2 Dividindo ambos os lados por 4, temos: 3 = raio^2 Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, temos: raio = √3 Agora que temos o valor do raio, podemos encontrar a altura da pirâmide usando o teorema de Pitágoras. A altura é dada por: altura = √(lado da base^2 - raio^2) Substituindo os valores, temos: altura = √((2 * raio)^2 - raio^2) altura = √(4 * raio^2 - raio^2) altura = √(3 * raio^2) altura = √(3 * (√3)^2) altura = √(3 * 3) altura = √9 altura = 3 cm Portanto, a altura da pirâmide triangular regular é 3 cm.