C(x) = 3x³ - 441x +192. Quantas unid. deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo? mostrar e provar que a quant. encontrada é mínimo)

Question

Em matemática, um ponto crítico, também chamado de ponto estacionário, é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão, podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada (a curvatura) da função. Em matemática, a análise de máximos e mínimos (pontos críticos) possui diversas aplicações. Uma delas é na área fabril. Sendo assim, imagine que o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por: C(x) = 3x³ - 441x +192. Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo?

(lembre de mostrar e provar que a quantidade encontrada é mínimo)

Ed · Answer

Para encontrar a quantidade de unidades que devem ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo, precisamos encontrar o ponto crítico da função C(x) = 3x³ - 441x +192.

Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função C(x):
C'(x) = 9x² - 441

Em seguida, igualamos a primeira derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
9x² - 441 = 0
9x² = 441
x² = 49
x = ±7

Temos, portanto, dois pontos críticos: x = 7 e x = -7. Para determinar se esses pontos são de mínimo ou máximo, precisamos calcular a segunda derivada da função C(x):
C''(x) = 18x

Substituindo x = 7 e x = -7 na segunda derivada, temos:
C''(7) = 126 > 0 (mínimo)
C''(-7) = -126  0

Como a segunda derivada é positiva, temos a confirmação de que x = 7 é um ponto de mínimo da função C(x).

C(x) = 3x³ - 441x +192. Quantas unid. deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo? mostrar e provar que a quant. encontrada é mínimo)

Cálculo Diferencial 1

FACICA

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