A figura abaixo mostra o triângulo acutângulo ABC inscrito na circunferência de centro O. A reta BD é perpendicular em D a AC e encontra a circ...

Para mostrar que HD = DM, podemos usar o fato de que BD é perpendicular a AC. Isso implica que o triângulo BHD é semelhante ao triângulo BAC, pois ambos possuem um ângulo reto e o ângulo B em comum. Portanto, temos a proporção: HD/BD = BA/AC Como BD é perpendicular a AC, temos BD = AC. Substituindo na proporção, temos: HD/BD = BA/BD Simplificando, temos: HD = BA Agora, vamos mostrar que MN é perpendicular a OA. Podemos usar o fato de que CE é perpendicular a AB. Isso implica que o triângulo CNE é semelhante ao triângulo CAB, pois ambos possuem um ângulo reto e o ângulo C em comum. Portanto, temos a proporção: NE/CE = BA/AC Como CE é perpendicular a AB, temos CE = AB. Substituindo na proporção, temos: NE/CE = BA/CE Simplificando, temos: NE = BA Agora, observe que os pontos M, N e O estão na circunferência de centro O. Portanto, temos que OM = ON, pois são raios da mesma circunferência. Além disso, OA é um raio da circunferência. Portanto, temos que OM = ON = OA. Agora, vamos considerar o triângulo MON. Temos que MN = MO + ON. Substituindo os valores, temos: MN = OA + OA Simplificando, temos: MN = 2OA Portanto, MN é o dobro do raio da circunferência, que é OA. Isso implica que MN é perpendicular a OA. Assim, mostramos que HD = DM e que MN é perpendicular a OA.