A área entre duas funções pode ser determinada pela integração da diferença entre as duas funções ao longo do intervalo de interesse. Calcule a áre...

ln⁡2u.a

Para calcular a área delimitada entre as curvas y=1/x, y=x, y=x/4, com x>0 e y>0, podemos utilizar o método da integração. Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas para determinar os limites de integração. Primeiro, igualamos as funções duas a duas para encontrar os pontos de interseção: 1/x = x x^2 = 1 x = 1 ou x = -1 (descartamos o valor negativo, pois estamos considerando x>0) 1/x = x/4 4x^2 = x 4x^2 - x = 0 x(4x - 1) = 0 x = 0 ou x = 1/4 (descartamos o valor zero, pois estamos considerando x>0) Agora, podemos determinar os limites de integração. A área será dada pela integral da diferença entre as funções y=1/x e y=x/4, no intervalo de x=1/4 até x=1. A = ∫[1/4, 1] (1/x - x/4) dx Podemos calcular essa integral: A = ln|x| - (1/8)x^2 |[1/4, 1] A = ln(1) - (1/8)(1)^2 - ln(1/4) + (1/8)(1/4)^2 A = 0 - 1/8 - ln(1/4) + 1/128 A = -1/8 - ln(1/4) + 1/128 Portanto, a área delimitada entre as curvas é aproximadamente -1/8 - ln(1/4) + 1/128 unidades de área.