Quais subconjuntos de 3R são Subespaços em relação as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Para os que são Subespaços mostrar q...

Para determinar quais subconjuntos de 3R são subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais, devemos verificar se eles satisfazem as duas condições para serem considerados subespaços vetoriais. As duas condições são: 1. O subconjunto deve ser fechado em relação à adição. Isso significa que, para quaisquer dois vetores u e v pertencentes ao subconjunto, a soma u + v também deve pertencer ao subconjunto. 2. O subconjunto deve ser fechado em relação à multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer vetor u pertencente ao subconjunto e qualquer escalar c, o produto c * u também deve pertencer ao subconjunto. Agora, vamos analisar cada uma das opções apresentadas: a) O subconjunto { (x, y, z) / 4x + 0y + z = 0 } não é um subespaço vetorial, pois não é fechado em relação à adição. Por exemplo, se considerarmos os vetores u = (1, 0, 1) e v = (2, 0, -2), ambos pertencentes ao subconjunto, a soma u + v = (3, 0, -1) não pertence ao subconjunto. b) O subconjunto { (x, y, z) / 2x + y = z } é um subespaço vetorial, pois satisfaz as duas condições. É possível verificar que ele é fechado em relação à adição e multiplicação por escalar. c) O subconjunto { 2(x, y, z) / x = z } não é um subespaço vetorial, pois não é fechado em relação à multiplicação por escalar. Por exemplo, se considerarmos o vetor u = (1, 0, 1) pertencente ao subconjunto e o escalar c = 2, o produto c * u = (2, 0, 2) não pertence ao subconjunto. d) O subconjunto { (x, y, z) / 2x + 0y + z = y + x + z } é um subespaço vetorial, pois satisfaz as duas condições. É possível verificar que ele é fechado em relação à adição e multiplicação por escalar. Portanto, os subconjuntos b) e d) são subespaços vetoriais em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Os subconjuntos a) e c) não são subespaços vetoriais.