Nos conjuntos dados abaixo, verifique quais deles são subespaços vetoriais do IR2 relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar...

Para verificar se um conjunto é um subespaço vetorial do IR2, precisamos verificar se ele atende às seguintes condições: 1. O vetor nulo (0,0) pertence ao conjunto. 2. Se (x1,y1) e (x2,y2) pertencem ao conjunto, então (x1+x2,y1+y2) também pertence ao conjunto. 3. Se (x,y) pertence ao conjunto e k é um escalar, então (kx,ky) também pertence ao conjunto. a) O conjunto S = {(x,y) | 2x-2y=0} é um subespaço vetorial do IR2, pois: - O vetor nulo (0,0) pertence ao conjunto, pois 2*0 - 2*0 = 0. - Se (x1,y1) e (x2,y2) pertencem ao conjunto, então (x1+x2,y1+y2) também pertence ao conjunto, pois: 2(x1+x2) - 2(y1+y2) = 2x1 - 2y1 + 2x2 - 2y2 = 2(x1 - y1) + 2(x2 - y2) = 0 + 0 = 0. - Se (x,y) pertence ao conjunto e k é um escalar, então (kx,ky) também pertence ao conjunto, pois: 2(kx) - 2(ky) = k(2x - 2y) = k*0 = 0. Portanto, S é um subespaço vetorial do IR2. Uma base para S é {(1,1)}. b) O conjunto S = {(x,y) | x=3} não é um subespaço vetorial do IR2, pois: - O vetor nulo (0,0) não pertence ao conjunto, pois 0 não é igual a 3. - Se (x1,y1) e (x2,y2) pertencem ao conjunto, então (x1+x2,y1+y2) também pertence ao conjunto, mas: (x1+x2) não é igual a 3, a menos que x1 e x2 sejam iguais a 3. - Se (x,y) pertence ao conjunto e k é um escalar, então (kx,ky) também pertence ao conjunto, mas: (kx) não é igual a 3, a menos que x seja igual a 3. Portanto, S não é um subespaço vetorial do IR2. c) O conjunto S = {(x,y) | y=2-x} é um subespaço vetorial do IR2, pois: - O vetor nulo (0,0) pertence ao conjunto, pois 2-0 = 2. - Se (x1,y1) e (x2,y2) pertencem ao conjunto, então (x1+x2,y1+y2) também pertence ao conjunto, pois: (x1+x2) + (y1+y2) = (x1+y1) + (x2+y2) = 2 - (2x1 - 2) + 2 - (2x2 - 2) = 4 - 2x1 - 2x2 = 2(2 - x1 - x2). Como x1+x2 é um número real qualquer, podemos escolher x1+x2 = 2, o que implica em y1+y2 = 0. Portanto, (x1+x2,y1+y2) pertence ao conjunto. - Se (x,y) pertence ao conjunto e k é um escalar, então (kx,ky) também pertence ao conjunto, pois: (kx) + (ky) = k(x+y) = k(2 - x) = 2k - kx. Como x é um número real qualquer, podemos escolher x = 2, o que implica em (kx,ky) pertence ao conjunto. Portanto, S é um subespaço vetorial do IR2. Uma base para S é {(1,1)}.