1) Verifique quais subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais.

As três condições para que um conjunto seja subespaço vetorial \(W\) são:

• \(\exists 0\in W\ |\ 0+v=v,\ \forall v\in W\)
• \(v,u\in W\Rightarrow u+v\in W\)
• \(v,u\in W\Rightarrow u\times v\in W\)

a) \(W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/x \in \mathbb{Z}\}\)

• \(0+(x,y,z)=(x,y,z)\Rightarrow 0=(0,0,0)\Rightarrow 0\in\mathbb{N}\rightarrow (0,0,0)\in W\ \ \checkmark\)
• \(v,u\in W\Rightarrow u+v=(x_u+x_v,y_u+y_v,z_u+z_v)\)
  • Soma de números naturais são naturais: \(u+v\in W\ \ \checkmark\)
• \(v,u\in W\Rightarrow u\times v=(y_uz_v-y_vz_u,z_ux_v-z_vx_u,x_uy_v-x_vy_u)\notin W\)

Como a última condição não é satisfeita, \(W\) não é um subespaço vetorial.

b) \(S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/z=2x-y\}\)

• \(0+(x,y,z)=(x,y,z)\Rightarrow 0=(0,0,0)\Rightarrow 0=2\cdot0-0\rightarrow (0,0,0)\in S\ \ \checkmark\)
• \(v,u\in S\Rightarrow u+v=(x_u+x_v,y_u+y_v,z_u+z_v)\)
  • \(2x_{u+v}-y_{u+v}=2(x_u+x_v)-(y_u+y_v)=(2x_u-y_u)+(2x_v-y_v)=z_u+z_v=z_{u+v}\Rightarrow u+v\in S\ \ \checkmark\)
• \(v,u\in S\Rightarrow u\times v=(y_uz_v-y_vz_u,z_ux_v-z_vx_u,x_uy_v-x_vy_u)\notin S\)
  • \(2x_{u\times v}-y_{u\times v}=2(y_uz_v-y_vz_u)-(z_ux_v-z_vx_u)=z_v(2y_u+x_u)-z_u(2y_v+x_v)\)
  • Substituindo z, temos:
  • \(u\times v=(2x_v-y_v)(2y_u+x_u)-(2x_u-y_u)(2y_v+x_v)=5(x_vy_u-x_uy_v)\Rightarrow u\times v\notin S\)

Como a última condição não é satisfeita, \(S\) não é um subespaço vetorial.

c) \(W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/x+y+z=0\}\)

• \(0+(x,y,z)=(x,y,z)\Rightarrow 0=(0,0,0)\Rightarrow 0+0+0=0\rightarrow (0,0,0)\in W\ \ \checkmark\)
• \(v,u\in W\Rightarrow u+v=(x_u+x_v,y_u+y_v,z_u+z_v)\)
  • \(x_{u+v}+y_{u+v}+z_{u+v}=(x_u+x_v)+(y_u+y_v)+(z_u+z_v)=(x_u+y_u+z_u)+(x_v+y_v+z_v)=0\Rightarrow u+v\in W\ \ \checkmark\)
• \(v,u\in W\Rightarrow u\times v=(y_uz_v-y_vz_u,z_ux_v-z_vx_u,x_uy_v-x_vy_u)\notin W\)
  • ​​​​​​​\(x_{u\times v}+y_{u\times v}+z_{u\times v}=(y_uz_v-y_vz_u)+(z_ux_v-z_vx_u)+(x_uy_v-x_vy_u)\neq0\Rightarrow u\times v\notin W\)

Como a última condição não é satisfeita, \(W\) não é um subespaço vetorial.