Halle la ecuación cartesiana del plano π, que pasa por los puntos (1,2,1), (2,3,0) y (3,1,4). ¿Pertenecen los puntos (3,1,2) y (0,1,2) al plano π?

Para encontrar a equação cartesiana do plano π que passa pelos pontos (1,2,1), (2,3,0) e (3,1,4), podemos usar o produto vetorial. Primeiro, vamos encontrar dois vetores diretores do plano usando os pontos dados: Vetor 1: (2,3,0) - (1,2,1) = (1,1,-1) Vetor 2: (3,1,4) - (1,2,1) = (2,-1,3) Agora, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores: N = (1,1,-1) x (2,-1,3) = (4,5,3) Agora, podemos usar a fórmula da equação cartesiana do plano: Ax + By + Cz + D = 0 Onde (A, B, C) é o vetor normal ao plano (neste caso, N = (4,5,3)) e (x, y, z) são as coordenadas de um ponto qualquer no plano. Substituindo os valores, temos: 4x + 5y + 3z + D = 0 Agora, vamos usar um dos pontos dados para encontrar o valor de D. Vamos usar o ponto (1,2,1): 4(1) + 5(2) + 3(1) + D = 0 4 + 10 + 3 + D = 0 17 + D = 0 D = -17 Portanto, a equação cartesiana do plano π é: 4x + 5y + 3z - 17 = 0 Agora, vamos verificar se os pontos (3,1,2) e (0,1,2) pertencem ao plano π. Para isso, basta substituir as coordenadas dos pontos na equação do plano e verificar se a igualdade é satisfeita. Para o ponto (3,1,2): 4(3) + 5(1) + 3(2) - 17 = 0 12 + 5 + 6 - 17 = 0 23 - 17 = 0 6 = 0 A igualdade não é satisfeita, portanto, o ponto (3,1,2) não pertence ao plano π. Para o ponto (0,1,2): 4(0) + 5(1) + 3(2) - 17 = 0 0 + 5 + 6 - 17 = 0 11 - 17 = 0 -6 = 0 Novamente, a igualdade não é satisfeita, portanto, o ponto (0,1,2) também não pertence ao plano π.