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Cálculo Vetorial

Colégio Objetivo

Considerando a densidade ρ(x,y) medida em kg/m² em todos os pontos de uma placa retangular no plano R² dada por ρ(x,y) = 2x + 3y, assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade ρ(x,y) no ponto (1,2).

A taxa máxima de aumento da densidade ρ(x,y) é ∥∇ρ(1,2)∥, onde ∇ρ é o vetor gradiente da função ρ(x,y).
a) 2.
b) 3.
c) √13.
d) 13.

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Para encontrar a taxa máxima de aumento da densidade ρ(x,y) no ponto (1,2), precisamos calcular o vetor gradiente ∇ρ da função ρ(x,y) e avaliá-lo no ponto (1,2). O vetor gradiente ∇ρ é dado por (∂ρ/∂x, ∂ρ/∂y). Vamos calcular as derivadas parciais: ∂ρ/∂x = 2 ∂ρ/∂y = 3 Agora, avaliando o vetor gradiente no ponto (1,2), temos: ∇ρ(1,2) = (2, 3) A taxa máxima de aumento da densidade ρ(x,y) no ponto (1,2) é dada pela magnitude desse vetor gradiente: ∥∇ρ(1,2)∥ = √(2² + 3²) = √13 Portanto, a alternativa correta é c) √13.

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1- O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I - O domínio da função é o conjunto . II - O domínio da função é o conjunto . III - O domínio da função é o conjunto . IV - O domínio da função é o conjunto . R: I, IV

I - O domínio da função é o conjunto .
II - O domínio da função é o conjunto .
III - O domínio da função é o conjunto .
IV - O domínio da função é o conjunto .
a) I e II
b) II e III
c) I e IV
d) III e IV
e) I, II e III

2- O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão . Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no ponto . R:

a)
b)
c)
d)
e)

3- Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei de formação da função. Assim, para determinar o domínio da função precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. R: O domínio da função é o conjunto .

a) O domínio da função é o conjunto .
b) O domínio da função é o conjunto .
c) O domínio da função é o conjunto .
d) O domínio da função é o conjunto .
e) O domínio da função é o conjunto .

4- Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível. A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. R: Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .

a) Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
b) Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
c) Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
d) Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
e) Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .

5- A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função. Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função no ponto P(1,2). R:

a)
b)
c)
d)
e)

6- Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável , isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das derivadas das funções e com relação à variável . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função com relação à variável , sabendo que e . R:

a)
b)
c)
d)
e)

7- O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade no ponto . R: A taxa máxima de aumento da densidade é .

a)
b)
c)
d)
e)

8- Chamamos de curva de nível da função o conjunto de todos os pares pertencentes ao domínio de tais que , onde é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta. R: A equação é uma curva de nível para a função para .

a) A equação é uma curva de nível para a função para .
b) A equação é uma curva de nível para a função para .
c) A equação é uma curva de nível para a função para .
d) A equação é uma curva de nível para a função para .
e) A equação é uma curva de nível para a função para .

9- As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida

As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos.
É possível determinar a derivada da função com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida.
a) As duas afirmativas são verdadeiras.
b) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
c) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
d) As duas afirmativas são falsas.

Com base na definição de vetor gradiente, podemos definir a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .

a.
b.
c.
d.
e.