Atividade A2- Cálculo Aplicado Várias variáveis

Prévia do material em texto

Atividade A2
1- O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
I - O domínio da função  é o conjunto .
II - O domínio da função  é o conjunto .
III - O domínio da função  é o conjunto .
IV - O domínio da função  é o conjunto .
R: I, IV
2- O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto é, dada a função  o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o vetor gradiente da função  no ponto P é obtido por meio da seguinte expressão .
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função  no ponto .
R: 
3- Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis  temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados  pertencentes ao plano  que satisfazem a lei de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função  precisamos verificar se não há restrições para os valores que  e  podem assumir. 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
R: O domínio da função  é o conjunto .
4- Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível.
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
R: Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
5- A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior decrescimento da função.
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função  no ponto P(1,2).
R: 
6- Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções da variável , isto é,  e . A derivada da função  com relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das derivadas parciais da função  com relação às variáveis  e  e precisamos das derivadas das funções  e  com relação à variável . A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função  com relação à variável , sabendo que  e .
 R: 
7- O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no plano  dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima de aumento da densidade  no ponto .
R: A taxa máxima de aumento da densidade é .
8- Chamamos de curva de nível da função  o conjunto de todos os pares  pertencentes ao domínio de  tais que , onde  é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis. Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta.
R: A equação  é uma curva de nível para a função  para .
9- As derivadas parciais com relação a  e a  fornecem em cada uma delas a inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis  quando fixadas as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função  com relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção seja fornecida por um vetor unitário.
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função  no ponto  na direção do vetor .
R: 
10- Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis  e  são funções das variáveis  e , isto é,  e . A derivada da função  com relação à variável  é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de  com relação à variável  é obtida por meio da expressão .
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função  com relação às variáveis  e , sabendo que  e .
R:  e