Dado o sistema gerador U = [(1, 0, 0, 0); (2, -1, 0, 0); (0, 0, 0, 1)], teremos o subespaço U definido por?

O subespaço U definido pelo sistema gerador U = [(1, 0, 0, 0); (2, -1, 0, 0); (0, 0, 0, 1)] é dado pela alternativa C) U = {(2x − 2y + z, −2y, 2z, w) ∈ ℝ³}.

Para determinar o subespaço gerado por um sistema de vetores, precisamos encontrar todas as combinações lineares desses vetores. No caso dado, o sistema gerador é:

U = [(1, 0, 0, 0); (2, -1, 0, 0); (0, 0, 0, 1)]

Para encontrar o subespaço U, devemos encontrar todos os vetores (x, y, z, w) que podem ser expressos como combinação linear dos vetores do sistema gerador.

Vamos verificar as opções:

A) U = {(2x + y, x − 2y, 2z, w) ???? ℝ3}

Nesta opção, a primeira coordenada de U é 2x + y, mas no sistema gerador a primeira coordenada é sempre 1 ou 2, não é possível obter uma combinação linear com essa forma.

B) U = {(2x − y, 2x + z, z, 3w) ???? ℝ3}

Nesta opção, a segunda coordenada de U é 2x + z, mas no sistema gerador a segunda coordenada é sempre -1 ou 0, não é possível obter uma combinação linear com essa forma.

C) U = {(2x − 2y + z, −2y, 2z, w) ???? ℝ3}

Nesta opção, a primeira coordenada de U é 2x - 2y + z, que pode ser obtida como uma combinação linear dos vetores do sistema gerador. Portanto, essa opção é possível.

D) U = {(x + 2y + 2z, −y, 2z, w) ???? ℝ3}

Nesta opção, a primeira coordenada de U é x + 2y + 2z, mas no sistema gerador a primeira coordenada é sempre 1 ou 2, não é possível obter uma combinação linear com essa forma.

E) U = {(x + y, x − y, z, 2w) ???? ℝ3}

Nesta opção, a segunda coordenada de U é x - y, mas no sistema gerador a segunda coordenada é sempre -1 ou 0, não é possível obter uma combinação linear com essa forma.

Portanto, a opção correta é a C) U = {(2x − 2y + z, −2y, 2z, w) ???? ℝ3}.