Sejam V = R4, W1 = [(1,−1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1)] e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R 4/x− y − z + t = 0} subespaços de V. Determine: (a) (1, 0 ponto) Uma base...

(a) Para encontrar uma base de W1 + W2, precisamos encontrar uma base para cada subespaço e, em seguida, combiná-las. Começando com W1, podemos ver que os vetores em W1 são linearmente independentes, pois nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Portanto, uma base para W1 é B1 = {(1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}. Para encontrar uma base para W2, podemos reescrever a equação x - y - z + t = 0 como x = y + z - t e, em seguida, expressar x em termos de y, z e t. Isso nos dá a seguinte parametrização para W2: W2 = {(y + z - t, y, z, t) | y, z, t ∈ R}. Podemos ver que os vetores (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) e (-1, 0, 0, 1) geram W2. Além disso, eles são linearmente independentes, pois nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Portanto, uma base para W2 é B2 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)}. Agora, para encontrar uma base para W1 + W2, precisamos combinar as bases B1 e B2 e remover quaisquer vetores redundantes. Podemos ver que (1, -1, 0, 0) e (0, 0, 1, 1) não podem ser escritos como combinações lineares dos vetores em B2, então eles são adicionados à base. No entanto, (1, 0, 0, 0) pode ser escrito como (1/2)(1, -1, 0, 0) + (1/2)(-1, 0, 0, 1), então podemos removê-lo da base. Portanto, uma base para W1 + W2 é B1 + B2 = {(1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)}. (b) Para encontrar uma base de V contendo os vetores u = (1, 1, 1, 1) e v = (1, 0, 1, 2), podemos começar encontrando uma base para o subespaço gerado por esses dois vetores. Podemos ver que u - v = (0, 1, 0, -1) e (u + v)/2 = (1, 0, 1.5, 1.5) são linearmente independentes e geram o mesmo subespaço que u e v. Portanto, uma base para o subespaço gerado por u e v é B = {(0, 1, 0, -1), (1, 0, 1.5, 1.5)}. Agora, precisamos encontrar um terceiro vetor que seja linearmente independente de B e, em seguida, combiná-los para formar uma base para V. Podemos ver que (1, 0, 0, 0) é linearmente independente de B, então uma base para V é B' = {(0, 1, 0, -1), (1, 0, 1.5, 1.5), (1, 0, 0, 0)}. (c) Para encontrar uma base para W1 ∩ W2, precisamos encontrar todos os vetores que pertencem a ambos os subespaços. Podemos ver que qualquer vetor em W1 ∩ W2 deve ter a forma (x, y, z, t) com x = y + z - t e (1, -1, 0, 0) e (0, 0, 1, 1) pertencem a W1 e (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) e (-1, 0, 0, 1) pertencem a W2. Portanto, podemos ver que a interseção é gerada pelo vetor (1, -1, 0, 0) e uma base para W1 ∩ W2 é B = {(1, -1, 0, 0)}. (d) Para encontrar a dimensão de W1 ∩ W2, podemos ver que a interseção é gerada pelo vetor (1, -1, 0, 0). Portanto, a dimensão de W1 ∩ W2 é 1.