O traço de uma matriz quadrada A, tr(A), é dado pela soma dos elementos de sua diagonal principal. Mostre que o polinômio característico p(λ) de um...

Para uma matriz quadrada A de ordem 2, o polinômio característico p(λ) é dado por: p(λ) = det(A - λI) Onde I é a matriz identidade de ordem 2. Substituindo A por sua forma genérica: A = [a11 a12] [a21 a22] Temos: A - λI = [a11-λ a12] [a21 a22-λ] Calculando o determinante: det(A - λI) = (a11 - λ)(a22 - λ) - a12a21 Expandindo a expressão: det(A - λI) = λ² - (a11 + a22)λ + (a11a22 - a12a21) Note que a soma dos elementos da diagonal principal é dada por: tr(A) = a11 + a22 E o determinante é dado por: det(A) = a11a22 - a12a21 Substituindo na expressão do polinômio característico: p(λ) = λ² - (a11 + a22)λ + (a11a22 - a12a21) p(λ) = λ² - tr(A)λ + det(A) Portanto, o polinômio característico p(λ) de uma matriz quadrada A de ordem 2 é dado por p(λ) = λ² - tr(A)λ + det(A), onde det(A) é o determinante da matriz A.