Escriba, usando integrales dobles y en coordenadas rectangulares, la(s) integral(es) que permitan calcular el volumen del sólido acotado por las s...

Para calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies x² + y² = 1, z = √3(x² + y²) e z = √(x² + y²), podemos utilizar integrais duplas em coordenadas retangulares. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para x e y. A superfície x² + y² = 1 é um círculo de raio 1, centrado na origem. A superfície z = √3(x² + y²) é um cone com vértice na origem e ângulo de abertura de 60 graus. A superfície z = √(x² + y²) é um cone com vértice na origem e ângulo de abertura de 45 graus. Podemos ver que o sólido está limitado inferiormente pelo plano xy, superiormente pelo cone z = √3(x² + y²) e lateralmente pelo cone z = √(x² + y²). Assim, as integrais duplas para calcular o volume do sólido são: ∬R √3(x² + y²) - √(x² + y²) dA onde R é a região do plano xy delimitada pelo círculo x² + y² = 1. Podemos calcular essa integral em coordenadas retangulares, com os limites de integração: -1 ≤ x ≤ 1 -√(1-x²) ≤ y ≤ √(1-x²) Assim, a integral dupla para calcular o volume do sólido é: V = ∫[-1,1] ∫[-√(1-x²),√(1-x²)] (√3(x² + y²) - √(x² + y²)) dy dx