7. Em um circuito RL série livre, com R e L variáveis, determine: a) a tensão no indutor v(t), para t>0, sabendo-se que R=200 Ω, L=40 mH e i(0) = 1...

a) Para calcular a tensão no indutor v(t), podemos utilizar a equação v(t) = L(di/dt) + Ri, onde L é a indutância, R é a resistência e i é a corrente. Sabendo que i(0) = 10 mA, R = 200 Ω e L = 40 mH, podemos calcular a constante de tempo do circuito, que é dada por τ = L/R. Substituindo os valores, temos τ = 0,2 ms. A corrente no circuito pode ser calculada por i(t) = i(0)e^(-t/τ). Substituindo os valores, temos i(t) = 10e^(-5t). Agora podemos calcular a tensão no indutor v(t) = L(di/dt) + Ri. Derivando a equação da corrente em relação ao tempo, temos di/dt = -50e^(-5t). Substituindo os valores, temos v(t) = 2e^(-5t) + 200e^(-5t) = 202e^(-5t). b) Para o caso de R = 10 kΩ e τ = 10 μs, podemos calcular o valor da indutância L utilizando a equação τ = L/R. Substituindo os valores, temos L = Rτ = 10 kΩ x 10 μs = 100 μH. c) Para que a corrente num indutor de 0,01 H se reduza à metade a cada 100 μs, podemos utilizar a equação da corrente no circuito, que é dada por i(t) = i(0)e^(-t/τ). Sabendo que a corrente deve ser reduzida à metade a cada 100 μs, podemos escrever a equação i(100 μs) = i(0)/2. Substituindo os valores, temos i(100 μs) = i(0)e^(-100 μs/τ) = i(0)/2. Simplificando, temos e^(-100 μs/τ) = 1/2. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos -100 μs/τ = ln(1/2). Resolvendo para τ, temos τ = 230,26 μs. Agora podemos calcular o valor da resistência R utilizando a equação τ = L/R e sabendo que L = 0,01 H. Substituindo os valores, temos R = L/τ = 0,01 H / 230,26 μs = 43,4 Ω.