Considere el sólido acotado por las superficies z = 0 , y + z = 3 , x2 + y2 = 2x y x2 + y2 = 4x . Calcule ∫∫∫Ωz dV . En coordenadas ciĺındricas ...

O problema nos fornece as equações das superfícies que delimitam o sólido e pede para calcular a integral tripla ∫∫∫Ωz dV, onde Ω é o sólido delimitado pelas superfícies. Para resolver o problema, é necessário transformar as equações das superfícies para coordenadas cilíndricas. Temos: x² + y² = 2x r² = 2rcos(θ) r = 2cos(θ) x² + y² = 4x r² = 4rcos(θ) r = 4cos(θ) y + z = 3 z = 3 - rsen(θ) A região de integração é dada por -π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 2cos(θ) e 0 ≤ z ≤ 3 - rsen(θ). Assim, a integral tripla pode ser escrita como: ∫∫∫Ωz dV = ∫-π/2^π/2 ∫0^2cos(θ) ∫0^(3-rsen(θ)) zr dz dr dθ Resolvendo as integrais, obtemos: ∫∫∫Ωz dV = 123π/8 Portanto, a resposta é 123π/8.