Considere a sequência (xn) definida indutivamente por x1 = √2 e xn+1 = √2 + xn para n > 1. Mostre que (a) (xn) é limitada. (b) (xn) é monótona ...

(a) Para mostrar que (xn) é limitada, podemos usar indução matemática. Primeiro, observe que x1 = √2 < 2. Agora, suponha que xn < 2 para algum n. Então, temos: xn+1 = √2 + xn < √2 + 2 < 2 + 2 = 4 Portanto, xn+1 < 4. Assim, por indução matemática, temos que xn < 2 para todo n, o que significa que (xn) é limitada superiormente por 2. (b) Para mostrar que (xn) é monótona não-decrescente, podemos usar indução matemática novamente. Primeiro, observe que x2 = √2 + √2 > √2 = x1. Agora, suponha que xn < xn+1 para algum n. Então, temos: xn+1 = √2 + xn > √2 + xn-1 > xn-1 Portanto, xn < xn+1 < xn+2. Assim, por indução matemática, temos que (xn) é monótona não-decrescente. (c) Para mostrar que (xn) é convergente e encontrar seu limite, podemos usar o fato de que (xn) é limitada e monótona não-decrescente. Portanto, pelo teorema do limite monotônico, sabemos que (xn) converge para algum limite L. Podemos encontrar L resolvendo a equação: L = √2 + L Isso nos dá L = 2. Portanto, temos que (xn) converge para 2.