Considere a sequência (xn) definida indutivamente por x1 = √2 e xn+1 = √2 + xn para n > 1. Mostre que (a) (xn) é limitada. (b) (xn) é monótona ...

(a) Para mostrar que a sequência (xn) é limitada, podemos usar o princípio da indução matemática. Base: Temos que x1 = √2, que é um número real positivo. Portanto, x1 é limitado. Hipótese: Suponha que xn seja limitado, ou seja, existe um número real M tal que |xn| ≤ M para todo n. Passo da indução: Vamos mostrar que xn+1 também é limitado. Temos que xn+1 = √2 + xn. Pela hipótese de indução, sabemos que |xn| ≤ M. Portanto, |xn+1| = |√2 + xn| ≤ |√2| + |xn| ≤ √2 + M. Assim, temos que |xn+1| ≤ √2 + M para todo n. Portanto, xn+1 também é limitado. Conclusão: Pelo princípio da indução matemática, podemos concluir que a sequência (xn) é limitada. (b) Para mostrar que a sequência (xn) é monótona não-decrescente, podemos usar o princípio da indução matemática. Base: Temos que x1 = √2. Hipótese: Suponha que xn seja não-decrescente, ou seja, xn ≤ xn+1 para todo n. Passo da indução: Vamos mostrar que xn+1 também é não-decrescente. Temos que xn+1 = √2 + xn. Pela hipótese de indução, sabemos que xn ≤ xn+1. Portanto, xn ≤ xn+1. Assim, temos que xn+1 é não-decrescente. Conclusão: Pelo princípio da indução matemática, podemos concluir que a sequência (xn) é monótona não-decrescente. (c) Para mostrar que a sequência (xn) é convergente e encontrar seu limite, podemos usar o fato de que a sequência é limitada e monótona não-decrescente. Pelo item (a), sabemos que a sequência (xn) é limitada. Portanto, existe um número real L tal que |xn| ≤ L para todo n. Pelo item (b), sabemos que a sequência (xn) é monótona não-decrescente. Portanto, a sequência é crescente e possui um limite. Assim, podemos concluir que a sequência (xn) é convergente e seu limite é L.