Sejam f : R → R dada por f(x) = x2 e a ∈ R. Mostre que limx→a f(x) = f(a) das seguintes formas: (a) Direto pela definição de limite (argumento ε-...

(a) Para demonstrar que limx→a f(x) = f(a) utilizando o argumento ε-δ, vamos começar definindo o limite como limx→a f(x) = L. Isso significa que para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x - a| < δ, então |f(x) - L| < ε. Neste caso, temos f(x) = x^2 e queremos mostrar que limx→a x^2 = a^2. Vamos seguir os passos do argumento ε-δ: 1. Seja ε > 0. Queremos encontrar um δ > 0 tal que se 0 < |x - a| < δ, então |x^2 - a^2| < ε. 2. Observamos que |x^2 - a^2| = |x - a| * |x + a|. Portanto, queremos encontrar um δ > 0 tal que se 0 < |x - a| < δ, então |x - a| * |x + a| < ε. 3. Podemos supor que δ < 1, pois se δ ≥ 1, podemos escolher um δ menor que 1 que satisfaça as condições. 4. Agora, vamos escolher δ = min{1, ε/(2|a| + 1)}. Se 0 < |x - a| < δ, então temos: |x - a| * |x + a| < δ * |x + a| < (ε/(2|a| + 1)) * |x + a|. 5. Se escolhermos |x - a| < 1, então |x + a| ≤ |x - a| + 2|a| < 1 + 2|a|. 6. Portanto, temos: |x - a| * |x + a| < (ε/(2|a| + 1)) * (1 + 2|a|) = ε. 7. Concluímos que se escolhermos δ = min{1, ε/(2|a| + 1)}, então se 0 < |x - a| < δ, teremos |x^2 - a^2| < ε. Assim, demonstramos que limx→a x^2 = a^2 utilizando o argumento ε-δ. (b) Para demonstrar que limx→a f(x) = f(a) utilizando a caracterização de limite via convergência de sequências, vamos considerar uma sequência xn que converge para a. Queremos mostrar que a sequência f(xn) converge para f(a). Neste caso, temos f(x) = x^2 e queremos mostrar que limx→a x^2 = a^2. Vamos seguir os passos da caracterização de limite via convergência de sequências: 1. Seja xn uma sequência que converge para a. Isso significa que limn→∞ xn = a. 2. Queremos mostrar que limn→∞ f(xn) = f(a), ou seja, limn→∞ xn^2 = a^2. 3. Usando a propriedade de limite de sequências, temos: limn→∞ xn^2 = (limn→∞ xn) * (limn→∞ xn) = a * a = a^2. 4. Concluímos que limn→∞ xn^2 = a^2, ou seja, limx→a x^2 = a^2 utilizando a caracterização de limite via convergência de sequências. Assim, demonstramos que limx→a x^2 = a^2 tanto pelo argumento ε-δ quanto pela caracterização de limite via convergência de sequências.