Sejam f : R → R dada por f(x) = x2 e a ∈ R. Mostre que limx→a f(x) = f(a) das seguintes formas: (a) Direto pela definição de limite (argumento ε-...

(a) Para demonstrar que limx→a f(x) = f(a) utilizando o argumento ε-δ, vamos começar definindo o limite como limx→a f(x) = L. Isso significa que para qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x - a| < δ, então |f(x) - L| < ε. Neste caso, temos f(x) = x^2 e queremos mostrar que limx→a x^2 = a^2. Vamos seguir os passos do argumento ε-δ: 1. Seja ε > 0. Queremos encontrar um δ > 0 tal que se 0 < |x - a| < δ, então |x^2 - a^2| < ε. 2. Observamos que |x^2 - a^2| = |x - a| * |x + a|. Portanto, queremos encontrar um δ > 0 tal que se 0 < |x - a| < δ, então |x - a| * |x + a| < ε. 3. Podemos supor que δ < 1, pois se δ ≥ 1, podemos escolher um δ menor que 1 que satisfaça as condições. 4. Agora, vamos escolher δ = min{1, ε/(2|a| + 1)}. Se 0 < |x - a| < δ, então temos: |x - a| * |x + a| < δ * |x + a| < (ε/(2|a| + 1)) * |x + a|. 5. Se escolhermos |x - a| < 1, então |x + a| ≤ |x - a| + 2|a| < 1 + 2|a|. 6. Portanto, temos: |x - a| * |x + a| < (ε/(2|a| + 1)) * (1 + 2|a|) = ε. 7. Concluímos que se escolhermos δ = min{1, ε/(2|a| + 1)}, então se 0 < |x - a| < δ, teremos |x^2 - a^2| < ε. Assim, demonstramos que limx→a x^2 = a^2 utilizando o argumento ε-δ. (b) Para demonstrar que limx→a f(x) = f(a) utilizando a caracterização de limite via convergência de sequências, vamos considerar uma sequência xn que converge para a. Queremos mostrar que a sequência f(xn) converge para f(a). Neste caso, temos f(x) = x^2 e queremos mostrar que limx→a x^2 = a^2. Vamos seguir os passos da caracterização de limite via convergência de sequências: 1. Considere uma sequência xn que converge para a. Isso significa que para qualquer ε > 0, existe um N tal que se n > N, então |xn - a| < ε. 2. Agora, vamos analisar a sequência f(xn) = (xn)^2. Temos: |f(xn) - f(a)| = |(xn)^2 - a^2| = |xn - a| * |xn + a|. 3. Como xn converge para a, podemos afirmar que xn + a também converge para 2a. 4. Portanto, temos: |f(xn) - f(a)| = |xn - a| * |xn + a| < ε * |xn + a|. 5. Se escolhermos N de forma que |xn + a| < ε para n > N, então teremos: |f(xn) - f(a)| < ε * |xn + a| < ε * ε = ε^2. 6. Concluímos que se escolhermos N de forma que |xn + a| < ε para n > N, então teremos |f(xn) - f(a)| < ε^2. Assim, demonstramos que limx→a x^2 = a^2 utilizando a caracterização de limite via convergência de sequências. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.