mostre que a equação diferencial a seguir é exata e a resolva: (e^x + y)dx + (2+x+ye^x)dy=0 ; com y(0)=1

Para verificar se a equação diferencial é exata, precisamos verificar se a condição de equação exata é satisfeita. A condição é dada por: ∂Q/∂x = ∂P/∂y Onde P e Q são as funções que multiplicam dx e dy, respectivamente. No caso da equação dada, temos: P(x,y) = e^x + y Q(x,y) = 2 + x + ye^x Calculando as derivadas parciais, temos: ∂Q/∂x = 1 + ye^x ∂P/∂y = 1 Como ∂Q/∂x ≠ ∂P/∂y, a equação não é exata. No entanto, podemos torná-la exata multiplicando-a por um fator integrante μ(x,y), dado por: μ(x,y) = e^∫(∂Q/∂x - ∂P/∂y)/∂P/∂y dx μ(x,y) = e^∫(ye^x) dx μ(x,y) = e^(ye^x + C) Onde C é uma constante de integração. Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante, temos: (e^(2x+y) + ye^x)dx + (2e^(2x+y)+xe^x)dy = 0 Agora, podemos verificar se a equação é exata. Calculando as derivadas parciais de P e Q em relação a y e x, respectivamente, temos: ∂P/∂y = e^x ∂Q/∂x = e^x + 2 + ye^x Como ∂Q/∂x = ∂P/∂y, a equação é exata. Portanto, podemos encontrar a solução integrando a função P em relação a x e igualando-a a uma constante C: ∫(e^(2x+y) + ye^x)dx = e^(2x+y) + (y-1)e^x + C(y) Derivando a expressão acima em relação a y, temos: ∂/∂y [e^(2x+y) + (y-1)e^x + C(y)] = e^(2x+y) + e^x + C'(y) Igualando a expressão acima a Q(x,y), temos: 2 + x + ye^x = e^(2x+y) + e^x + C'(y) Portanto, C'(y) = 2 + x e^x. Integrando C'(y) em relação a y, temos: C(y) = 2y + xy e^x + K Onde K é uma constante de integração. Substituindo C(y) na solução encontrada anteriormente, temos: e^(2x+y) + (y-1)e^x = 2y + xy e^x + K Isolando y, temos: y = (e^(2x+y) - e^x + K)/(e^x - x e^x - 2) Substituindo y(0) = 1, temos: 1 = (e^0 - e^0 + K)/(e^0 - 0*e^0 - 2) K = -1 Portanto, a solução da equação diferencial é: y = (e^(2x+y) - e^x - 1)/(e^x - x e^x - 2)