Mostre que cada equação a seguir é exata e determine sua solução (a) (y + 2xy3)dx+ (1 + 3x2y2)dy = 0 (b) ex3(3x2y − x2)dx+ ex3 dy = 0 (c) 3x2y2dx+ ...

Para verificar se uma equação é exata, é necessário calcular as derivadas parciais em relação a x e y e verificar se elas são iguais. Se forem iguais, a equação é exata. Em seguida, é necessário encontrar uma função potencial que satisfaça a equação. (a) (y + 2xy3)dx+ (1 + 3x2y2)dy = 0 ∂/∂y (y + 2xy3) = 1 + 6xy2 ∂/∂x (1 + 3x2y2) = 6xy2 Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Para encontrar a função potencial, integramos a primeira expressão em relação a x: xy + x2y3 + g(y) Em seguida, derivamos em relação a y para encontrar g(y): g'(y) = 1 + x2 g(y) = y + x2y + C Portanto, a solução é xy + x2y3 + y + x2y + C = 0. (b) ex3(3x2y − x2)dx+ ex3 dy = 0 ∂/∂y (ex3(3x2y − x2)) = 3ex3x2 ∂/∂x (ex3) = 3ex3x2 Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Para encontrar a função potencial, integramos a segunda expressão em relação a y: ey + f(x) Em seguida, derivamos em relação a x para encontrar f(x): f'(x) = ex3(3x2 − x2) = 2ex3x2 f(x) = ex3x3 + C Portanto, a solução é ey + ex3x3 + C = 0. (c) 3x2y2dx+ (2x3y + 4y3)dy = 0 ∂/∂y (3x2y2) = 6xy ∂/∂x (2x3y + 4y3) = 6x2y + 12y2 As derivadas parciais não são iguais, portanto a equação não é exata. (d) ydx+ xdy = 0 ∂/∂y (y) = 1 ∂/∂x (x) = 1 As derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Para encontrar a função potencial, integramos a primeira expressão em relação a x: xy + g(y) Em seguida, derivamos em relação a y para encontrar g(y): g'(y) = x g(y) = xy/2 + C Portanto, a solução é xy/2 + xy/2 + C = xy + C. (e) (ysen(x) + xy cos(x))dx+ (xsen(x) + 1)dy = 0 ∂/∂y (ysen(x) + xy cos(x)) = x cos(x) ∂/∂x (xsen(x) + 1) = cos(x) − x sen(x) As derivadas parciais não são iguais, portanto a equação não é exata. (f) −y2/t2 dt+ 2y/t dy = 0 ∂/∂y (-y2/t2) = -2y/t2 ∂/∂t (2y/t) = -2y/t2 Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Para encontrar a função potencial, integramos a segunda expressão em relação a t: 2y ln(t) + f(y) Em seguida, derivamos em relação a y para encontrar f(y): f'(y) = -2y/t f(y) = -y2 ln(t) + C Portanto, a solução é 2y ln(t) - y2 ln(t) + C = y ln(t) + C. (g) −2y/t3 dt+ 1/t2 dy = 0 ∂/∂y (-2y/t3) = -2/t3 ∂/∂t (1/t2) = -2/t3 Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Para encontrar a função potencial, integramos a segunda expressão em relação a y: y/t2 + f(t) Em seguida, derivamos em relação a t para encontrar f(t): f'(t) = -2y/t3 f(t) = 1/t - y/t2 + C Portanto, a solução é y/t2 + 1/t - y/t2 + C = 1/t + C. (h) (4t3y3 − 2ty)dt+ (3t4y2 − t2)dy = 0 ∂/∂y (4t3y3 − 2ty) = 12t3y2 − 2t ∂/∂t (3t4y2 − t2) = 12t3y2 − 2t Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata. Para encontrar a função potencial, integramos a primeira expressão em relação a t: t4y3 − t2y + g(y) Em seguida, derivamos em relação a y para encontrar g(y): g'(y) = 4t4y3 − 2ty g(y) = t4y4 − t2y2 + C Portanto, a solução é t4y3 − t2y2 + t4y4 − t2y2 + C = t4y4 − 2t2y2 + t4y3 + C. (i) 2xe2tdt+ (1 + e2t)dx = 0 ∂/∂y (2xe2t) = 0 ∂/∂x (1 + e2t) = 2e2t As derivadas parciais não são iguais, portanto a equação não é exata. (j) (cos(x) + x cos(t))dt+ (sen(t)− tsen(x))dx = 0 ∂/∂y (cos(x) + x cos(t)) = 0 ∂/∂x (sen(t)− tsen(x)) = -cos(x) As derivadas parciais não são iguais, portanto a equação não é exata.