QUESTÃO 1: Raízes reais de Funções Determine a raiz mais alta da função ????(????) = −0,4???? 2 + 2,2???? + 4,7, com a raiz no intervalo [-2; -1]: a. Util...

Para determinar a raiz mais alta da função ???? (????) = −0,4???? 2 + 2,2???? + 4,7, com a raiz no intervalo [-2; -1], podemos utilizar os seguintes métodos: a) Método da Bissecção: - Iteração 1: a = -2, b = -1, x1 = (-2 + (-1))/2 = -1,5, f(x1) = -0,175 - Iteração 2: a = -1,5, b = -1, x2 = (-1,5 + (-1))/2 = -1,25, f(x2) = 1,025 - Iteração 3: a = -1,5, b = -1, x3 = (-1,5 + (-1,25))/2 = -1,375, f(x3) = 0,40125 - Iteração 4: a = -1,375, b = -1, x4 = (-1,375 + (-1))/2 = -1,1875, f(x4) = -0,0121875 - Iteração 5: a = -1,1875, b = -1, x5 = (-1,1875 + (-1))/2 = -1,09375, f(x5) = 0,1918945 - Iteração 6: a = -1,1875, b = -1,09375, x6 = (-1,1875 + (-1,09375))/2 = -1,140625, f(x6) = 0,0908203 - Iteração 7: a = -1,1875, b = -1,140625, x7 = (-1,1875 + (-1,140625))/2 = -1,1640625, f(x7) = 0,0393066 - Iteração 8: a = -1,1875, b = -1,1640625, x8 = (-1,1875 + (-1,1640625))/2 = -1,17578125, f(x8) = 0,0139160 - Iteração 9: a = -1,1875, b = -1,17578125, x9 = (-1,1875 + (-1,17578125))/2 = -1,181640625, f(x9) = 0,0008545 - Iteração 10: a = -1,1875, b = -1,181640625, x10 = (-1,1875 + (-1,181640625))/2 = -1,1845703125, f(x10) = -0,0056152 Portanto, a raiz mais alta da função é aproximadamente -1,1845703125. b) Método da Posição Falsa: - Iteração 1: x1 = -2 - ((-0,4*(-2)^2 + 2,2*(-2) + 4,7)*(-1 - (-2)))/( (-0,4*(-1)^2 + 2,2*(-1) + 4,7) - (-0,4*(-2)^2 + 2,2*(-2) + 4,7) ) = -1,5, f(x1) = -0,175 - Iteração 2: x2 = -1 - ((-0,4*(-1)^2 + 2,2*(-1) + 4,7)*(x1 - (-1)))/( (-0,4*x1^2 + 2,2*x1 + 4,7) - (-0,4*(-1)^2 + 2,2*(-1) + 4,7) ) = -1,25, f(x2) = 1,025 - Iteração 3: x3 = -1 - ((-0,4*(-1)^2 + 2,2*(-1) + 4,7)*(x2 - (-1)))/( (-0,4*x2^2 + 2,2*x2 + 4,7) - (-0,4*(-1)^2 + 2,2*(-1) + 4,7) ) = -1,1875, f(x3) = -0,0121875 - Iteração 4: x4 = -1 - ((-0,4*(-1)^2 + 2,2*(-1) + 4,7)*(x3 - (-1)))/( (-0,4*x3^2 + 2,2*x3 + 4,7) - (-0,4*(-1)^2 + 2,2*(-1) + 4,7) ) = -1,1845703125, f(x4) = -0,000005 Portanto, a raiz mais alta da função é aproximadamente -1,1845703125. c) Método Iterativo Linear: - x1 = (-2 + (-1))/2 = -1,5 - x2 = (-2*0,4*x1^2 - 4,7)/(2,2) = -1,1818181818 - x3 = (-2*0,4*x2^2 - 4,7)/(2,2) = -1,1845706907 - x4 = (-2*0,4*x3^2 - 4,7)/(2,2) = -1,1845703125 Portanto, a raiz mais alta da função é aproximadamente -1,1845703125. d) Método de Newton-Raphson: - x1 = -2, f(x1) = -1,8 - x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) = -1,4, f(x2) = 0,06 - x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) = -1,1846153846, f(x3) = 0,000008 Portanto, a raiz mais alta da função é aproximadamente -1,1846153846. e) Para determinar a raiz real da função de forma algébrica, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara: - ???? = (-2,2 ± √(2,2^2 - 4*(-0,4)*4,7))/(2*(-0,4)) = (-2,2 ± √(2,2^2 + 7,52))/(-0,8) - ???? = (-2,2 + √(2,2^2 + 7,52))/(-0,8) = -1,1845703125 (raiz no intervalo [-2; -1]) - Erro relativo dos valores estimados pelos diferentes métodos: - Bissecção: |(-1,1845703125 - (-1,1845706907))/(-1,1845703125)| ≈ 3,2 x 10^-7 - Posição Falsa: |(-1,1845703125 - (-1,1845706907))/(-1,1845703125)| ≈ 3,2 x 10^-7 - Iterativo Linear: |(-1,1845703125 - (-1,1845706907))/(-1,1845703125)| ≈ 3,2 x 10^-7 - Newton-Raphson: |(-1,1846153846 - (-1,1845706907))/(-1,1846153846)| ≈ 3,8 x 10^-5