En el curso de Métodos Matemáticos II (ENMEM155) de la Universidad de Chile, en la tarea 2, se plantean los siguientes problemas: Problema 1: espa...

En el curso de Métodos Matemáticos II (ENMEM155) de la Universidad de Chile, en la tarea 2, se plantean los siguientes problemas:

Problema 1: espacio vectorial y subespacio vectorial
(a) Para qué valores de α1, α2, α3 y α4 ocurre que V = {(x1, x2, x3)t ∈ R3 : α1x1 + α2x2 + α3x3 = −4α4} es un subespacio vectorial de R3.
(b) Considere el conjunto de vectores V = {(α, -β, 2β, -α)t ∈ R4 : α, β ∈ R}. Demuestre que V es s.e.v de R4, y encuentre una base para V.
(c) Analizar si los siguientes conjuntos son SEV de R3
S = {(x, y, z)t ∈ R3 : x = y = z + 3}
T = {(x, y, z)t ∈ R3 : x(z − 4) = y}
(d) Determine si el siguiente conjunto V es un subespacio vectorial de R3. En caso de no serlo establezca las condiciones para que lo sea.
V = {(p, q, r) ∈ R3 : p − q = 0 ∧ 3r = q + 2p}
(a)
(b)
(c)
(d)
Para valores de α1, α2 y α3 arbitrarios, α4 debe ser 0 para que V sea un subespacio vectorial de R3.
El conjunto de vectores V = {(α, -β, 2β, -α)t ∈ R4 : α, β ∈ R} es un subespacio vectorial de R4 y su base es {(1, 0, 0, -1)t, (0, -1, 2, 0)t}.
El conjunto S no es un subespacio vectorial de R3, mientras que el conjunto T sí lo es.
El conjunto V es un subespacio vectorial de R3.
a) I, II, III e IV.
b) II e IV.
c) I e III.
d) II e III.