320625725 Lab 2 Circuitos Eletricos I v4

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CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
Laboratório 2: Teoremas de Thévenin e Norton 
 
 
 
Prof. Dr. Fernando Silva de Moura 
 
Carolina Marques Velho- R.A.: 11058611 
Karina Kaori Nakama- R.A.: 11047807 
Larissa Moura- R.A.: 11046508 
Lívia Bomediano- R.A.: 11049407 
Wellington H. Matsumoto - R.A.: 11101808 
 
 
 
Santo André 
2014 
2 
 
 
Sumário 
1. Introdução ...................................................................................................................... 3 
2. Objetivo .......................................................................................................................... 4 
3. Metodologia .................................................................................................................... 4 
3.1 Lista de materiais ................................................................................................................ 4 
3.2 Montagem dos circuitos ..................................................................................................... 4 
4. Resultados e Discussão ................................................................................................ 6 
5. Conclusão .................................................................................................................... 11 
6. Questões ...................................................................................................................... 12 
7. Teorema de Thévenin em regime permanente senoidal ........................................... 17 
8. Referências Bibliográficas .......................................................................................... 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. Introdução 
 
 Os teoremas de Thévenin e de Norton são métodos que possibilitam a 
redução no número de componentes de um sistema complexo, através da 
substituição por um equivalente mais simples com as mesmas características nos 
terminais de saída. Além disso, estes dois teoremas são utilizados para analisar os 
efeitos que a mudança de um componente específico causa sobre o circuito sem 
ter a necessidade de estudar o circuito completo depois de cada mudança 
realizada[1]. 
 O Teorema de Thévenin diz que qualquer circuito de dois terminais que 
possua corrente contínua pode ser trocado por um circuito equivalente composto 
apenas por uma fonte de tensão em série com um resistor, como mostrado na 
Figura 1[1]. 
 
 
Figura 1: Circuito equivalente de Thévenin 
 
 O teorema de Norton é uma extensão do teorema de Thévenin e foi 
enunciado em 1926 separadamente por Hans Ferdinand Mayer, e Edward Lawry 
Norton. 
 Este teorema diz que qualquer circuito com corrente contínua e dois 
terminais pode ser substituído por um circuito equivalente composto somente por 
uma fonte de corrente em paralelo com um resistor, como mostra a Figura 2[1]. 
 
4 
 
 
Figura 2: Circuito equivalente de Norton 
 
2. Objetivo 
O objetivo deste experimento é comprovar experimentalmente o teorema de 
Thévenin e Norton através da montagem de circuitos específicos e medições de 
valores de tensão e corrente para verificar os valores da resistência de Thevénin e 
a resistência de Norton. 
 
3. Metodologia 
 
3.1 Lista de materiais 
 
 1 Protoboard 
 Resistores de 1kΩ 
 Resistores de 100 kΩ 
 Potenciômetros de 1kΩ 
 Fonte de tensão DC 
 Multímetros digitais (bancada de portátil) 
 
3.2 Montagem dos circuitos 
 
 Primeiramente, foram medidos os valores reais dos resistores fornecidos e 
montado o circuito apresentado na Figura 3, no qual havia resistores de 1kΩ, 
100kΩ, uma fonte DC de 10V e um potenciômetro de 1kΩ. 
 
5 
 
 
Figura 3: Circuito para verificação do teorema de Thévenin 
 
 Variou-se o potenciômetro para que a tensão medida VL fosse de 2,9V a 3,5, 
com intervalos de 0,1V. Os valores medidos no amperímetro em IL foram anotados 
para estes intervalos de VL. 
 
 Após esta etapa, os resistores de carga foram retirados (potenciômetro de 
1kΩ e o resistor ligado em série com o mesmo, com valor também de 1kΩ) e o 
valor de tensão equivalente de Thévenin foi obtido através do multímetro 
posicionado em Vth e valor da corrente de Norton Ino (corrente de curto-circuito) foi 
obtido através de um amperímetro, conforme mostrado na figura 4a e 4b, 
respectivamente. 
 
Figura 4: Circuito para obter o valor da tensão equivalente de Thévenin 
 
 Após a medição do valor Vth,foi montado um circuito com uma fonte DC de 
6V e um amperímetro, como mostrado na figura 5a. Assim, foi medida a tensão V1 
e a corrente I1. A resistência equivalente de Thévenin (Rth) foi calculada e também 
medida com o ohmimetro conforme a Figura 5b para que fosse possível comparar 
os valores. 
6 
 
 
Figura 5: Circuito para obter V1, I1 e Rth 
 
 
 Por último, variou-se novamente o valor do potenciômetro de 1kΩ e mediu-
se a tensão VL para que tivesse variação entre valores de 2,9V a 3,5V com passos 
de 0,1V e as respectivas correntes em IL correspondentes. 
 
Figura 6: Circuito para obter os valores de tensão (VL) e corrente (IL) 
 
4. Resultados e Discussão 
 
 Antes de iniciar a montagem do circuito, foram medidos os valores reais dos 
resistores fornecidos, os quais são apresentados na Tabela 1. 
Tabela 1: Valor dos resistores 
 
Resistor Valor nominal (Ω) Valor medido (Ω) 
R1 1k 0,981k 
R2 1k 0,983k 
R3 100 97,9 
R4 1k 0,984k 
Rc1 1k Potenciômetro 
Rc2 1k 0,983k 
 
 
 
7 
 
 Após essa medição, foi montado o circuito da Figura 7 para obter os dados 
para a verificação do Teorema de Thévenin. 
 
 
Figura 7: Circuito montado para verificação do Teorema de Thévenin 
 
 Ao variar o potenciômetro para que a tensão medida VL fosse de 2,9V a 3,5, 
com intervalos de 0,1V, os valores medidos no amperímetro em IL foram obtidos 
para estes intervalos de VL e estes dados estão apresentados na Tabela 2. 
 
 Tabela 2: Valores de tensão e correntes medidos 
VL (V) IL (mA) 
Valor nominal Valor medido Valor medido 
2,9 2,89 0,03 
3,0 3,068 0,02 
3,1 3,135 0,01 
3,2 3,282 0,01 
3,3 3,320 0,01 
3,4 3,453 0,01 
3,5 3,531 0,01 
 
 A partir destes valores, traçou-se o gráfico da característica da rede linear, o 
qual está apresentado no Gráfico 1. 
8 
 
 
Gráfico 1. Corrente IL x Tensão VL dos valores medidos do circuito de verificação do 
Teorema de Thévenin. 
 
 Ao retirar os resistores de carga (potenciômetro de 1kΩ e resistor de 1kΩ) e 
conectá-los ao voltímetro foi obtido o circuito apresentado na Figura 8. 
 
Figura 8: Circuito para verificação da tensão equivalente de Thévenin (Vth) 
 
 Com esta configuração, o valor encontrado para Vth foi de 4,386V e para Ino 
foi de 8,381mA. Depois foi montado o circuito mostrado esquematicamente na 
Figura 9: 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
Figura 9: Circuito para cálculo de Vth 
 
 A partir deste circuito, mediu-se a tensão V1 e a corrente I1, cujos valores 
encontrados são, respectivamente, 6,06V e 11,54mA. Com estes valores, 
calculou-se Rth através da equação 1: 
 
 𝑅𝑡ℎ =
𝑉1
𝐼1
= 𝟓𝟐𝟓, 𝟏𝟑𝛀 (Equação 1) 
 
 Para verificação, montou-se o circuito esquematizado na Figura 10 e mediu-
se o valor de Rth com o ohmimetro. 
 
 
Figura 10: Circuito para verificação do valor de Rth 
 
 Para tal, encontrou-se o valor de Rth = 531,7Ω. Comparando o valor calculado e o 
valor medido de Rth, obtêm-se os dados apresentados na Tabela 3. 
 
 
 
I110 
 
 
 
Tabela 3: Comparação dos resultados de Rth 
 
Parâmetro 
Cálculos 
(valores nominais de R) 
Cálculos 
(valores medidos de R) 
Valores obtidos 
experimentalmente 
Rth (Ω) 521,7 512 531,7 
Vth (V) 4,781 4,792 4,386 
Ino(mA) 9,162 9,351 8,381 
 
 Em seguida, montou-se o circuito apresentado na Figura 11: 
 
Figura 11: Circuito para obter os valores de tensão (VL) e corrente (IL) 
 
 Com o amperímetro e voltímetro conectados conforme o circuito mostrado 
na Figura 11,foram obtidos os valores apresentados na Tabela 4. 
Tabela 4: Valores de tensão correntes medidos 
 
VL (V) IL (mA) 
Valor nominal Valor medido Valor medido 
2,9 2,87 2,73 
3,0 3,007 2,63 
3,1 3,100 2,45 
3,2 3,205 2,26 
3,3 3,339 1,985 
3,4 3,401 1,89 
3,5 3,557 1,7 
 
 A partir destes valores, a característica da rede linear da figura foi traçada 
como mostrada no gráfico 2: 
 
11 
 
 
Gráfico 2. Corrente IL x Tensão VL dos valores medidos do circuito da Figura 11. 
 
5. Conclusão 
Através deste experimento pode-se verificar na prática a validade do 
teorema de Thévenin e do teorema de Norton, ferramentas muito utilizadas na 
análise de circuitos elétricos. 
Pode-se comprovar que os resultados práticos medidos se aproximaram 
bastante dos resultados previstos teoricamente. 
As pequenas diferenças observada entre os resultados práticos e teóricos se 
devem ao fato de que os materiais utilizados como, por exemplo, os resistores não 
possuem exatamente o valor de resistência indicado, mas possui o valor dentro de 
uma certa faixa de tolerância, e essas pequenas diferenças acabam afetando o 
resultado final observado. 
Estes resultados foram muito importantes, pois, comparando-os com os 
resultados obtidos teoricamente, foi possível verificar a funcionalidade e precisão 
dos modelos teóricos adotados, aplicando-os em circuitos reais que possuem seu 
comportamento afetado por diversos fatores como a imprecisão dos materiais, a 
resistência dos condutores e etc. 
Além de comprovar nossos modelos teóricos houve a oportunidade de obter 
mais experiência prática no laboratório. 
 
 
 
12 
 
6. Questões 
 
6.1 Entregue no pré-relatório. 
 
6.2 Determine o gerador equivalente de Thévenin e o gerador equivalente 
de Norton do circuito representado na Figura 1, à esquerda dos 
terminais XY . Utilize agora os valores medidos dos resistores. 
As resistências medidas são mostradas na tabela 1 e são com estes valores que 
serão calculados os equivalentes de Thévenin e Norton nesta questão. Como queremos só 
os equivalente à esquerda dos terminais XY, desconsideramos as fontes presentes no lado 
direito. Primeiro, fazemos Req1 entre os resistores 3 e 2: 
 
Req1 = R3.R2/R3+R2 = 0,0979.0,983/0,0979 + 0,983 = 0,089 kΩ 
 
Em seguida, calculamos a Req2, entre os resistores 1 e a Req1 obtida: 
 
Req2 = Req1 + R1 = 0,089 + 0,981 = 1,069 kΩ 
 
Por fim, calculamos a Rth que será a associação da Req 2 com o resistor 
R4, em paralelo: 
 
Rth = Req2.R4/Req2 + R4 = 1,069.0,984/1,069 + 0,984 = 0,512 kΩ 
 
Para calcular a tensão de Thévenin, Vth, voltamos o circuito para o momento 
antes do cálculo da Rth, ou seja, para a seguinte configuração, valores de 
resistência em kΩ: 
 
 
De forma que a Vth será a tensão presente no resistor de 0,984 kΩ. Nesta 
confirguração, temos um divisor de tensão e então podemos encontrar Vth: 
 
Vth = 10.0,984/0,984 + 1,069 = 4,79V 
 
E conhecendo as relações entre os equivalentes de Thévenin e Norton, 
temos: 
 
Rth = RN = 0,512 kΩ 
 
IN = Vth/Rth = 4,79/0,512 = 9,35 A 
 
13 
 
6.3 Desenhe o gerador equivalente de Thévenin e o gerador equivalente de 
Norton do circuito à esquerda de XY Figura 1, e complete a tabela 4 
(neste caso, em nosso relatório é a tabela 3, já descrita acima) com os 
valores calculados e determinados experimentalmente. 
O equivalente de Thévenin é mostrado na figura abaixo, com valor de resistência 
em kΩ: 
 
 
O equivalente de Norton é mostrado na figura abaixo, com valor de 
resistência em kΩ: 
 
 
 
6.4 Compare os resultados obtidos nos itens i e j para a resistência equivalente 
de Thévenin. Avalie as incertezas envolvidas nos dois valores obtidos, 
conforme a precisão dos multímetros nas grandezas e escalas utilizadas. 
 
Tabela 3: Comparação dos resultados de Rth 
 
Parâmetro 
Cálculos 
(valores nominais de R) 
Cálculos 
(valores medidos de R) 
Valores obtidos 
experimentalmente 
Rth (Ω) 521,7 512 531,7 
Vth (V) 4,78 4,79 4,386 
Ino(mA) 9,16 9,35 8,381 
 
 Cálculo da incerteza envolvida nos valores nominais 
521,7 100% x = 1,86% 
9,7 x 
14 
 
A incerteza nos valores nominais da resistência de Thévenin é 
aproximadamente 1,86%. 
 Cálculo da incerteza envolvida nos valores medidos 
521, 7 100% x = 1,92% 
10 x 
Associando a incerteza dos valores medidos à incerteza da precisão do 
multímetro utilizado no experimento (0,5%), obtemos o valor total da 
incerteza 
I = 
2
2
pe
uu 
 
Onde: 
u2e = incerteza dos valores medidos 
u2p = incerteza da precisão do aparelho 
I = 1,98% 
A incerteza nos valores empíricos da resistência de Thévenin é 
aproximadamente 1,98%. 
 
6.5 Calcule a tensão VL e a corrente IL do circuito da figura 1 considerando 
uma carga fixa de 2kΩ, usando Teorema de Thévenin e Norton, com os 
valores determinados experimentalmente. Qual a potência dissipada 
nesta carga? 
Utilizando o equivalente de Thévenin deduzido na questão anterior: 
 
IL = Vth/Rth + 2 kΩ = 4,79/2,512 = 1,91 A 
 
Sendo assim, a VL = 2 kΩ.IL = 2.1,91 = 3,81 V 
 
De forma que a potência dissipada no resistor de 2 kΩ é Pot = VL.IL = 
3,81.1,91 = 7,28W. 
 
6.6 Qual deve ser o valor da resistência da carga para se obter a potência máxima 
do circuito da Figura 1? Qual seria o valor da potência máxima? 
Para calcular o valor da resistência de carga para obtenção da potência máxima do 
circuito, utiliza-se o teorema da máxima transferência de potência. 
Considerando um circuito com um gerador equivalente de Thévenin (VTH), um resistor 
equivalente de Thévenin (RTH) e a resistência de carga (Rc), ligada aos dois terminais do 
circuito. 
15 
 
 
Calcula-se a corrente i do circuito: 
i = 
CTH
TH
RR
V

 (I) 
 
Para calcular a potência: 
P = RC. i
2 (II) 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
P = VTH
2.
2)( THC
C
RR
R

 (III) 
 
Quando RC tende a zero ou ao infinito, a potência tende a zero. O cálculo da 
potência máxima é obtida derivando a equação (III) e igualando-a a zero. 
0
CdR
dP
= VTH
2.








 32 )(
.2
)(
1
THC
C
THC RR
R
RR
 
THC
C
RR
R

2
= 1 
RL = RTH (IV) 
Portanto, para obter a máxima potência do circuito, a resistência da carga deve ser 
igual à resistência do resistor equivalente de Thévenin. 
A potência máxima do circuito pode ser calculada, substituindo a equação (IV) na 
equação (III): 
P = VTH
2. 
2)2( TH
TH
R
R
 = 
TH
TH
R
V
4
2
 
 
6.7 Compare as curvas i x v obtidas a partir das tabelas 2 e 3 e comente se 
o teorema de Thévenin pode ser comprovado. Explique. 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 1 – Diagrama i x v, valores da tabela 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 2 – Diagrama i x v, valores da tabela 4 
 
O Teorema de Thévenin é muito útil para reduzirmos circuitos maiores a um 
circuitoequivalente com apenas dois elementos a partir de um determinado ponto, 
onde se deseja, por exemplo, saber as grandezas elétricas como tensão, corrente 
ou potência. O teorema de Thévenin estabelece que qualquer circuito linear visto 
de um ponto pode ser representado por uma fonte de tensão em série com uma 
17 
 
resistência. Portanto, para se afirmar que o Teorema é válido, a curva i x v deve ter 
um comportamento linear. Analisando as curvas obtidas, vemos que a curva 
apresentada no gráfico 1 apresenta alguns problemas, talvez por erro nas medidas, 
e não apresenta um comportamento linear. Já a curva apresentada no gráfico 2 
apresenta um comportamento linear e portanto, o uso do teorema de Thévenin 
pode ser comprovado. 
 
6.8 Proponha um procedimento para se determinar o gerador equivalente 
de Thévenin de um circuito desconhecido qualquer, a partir do 
levantamento da curva i x v nos terminais de interesse (onde será 
conectada a carga), conforme realizado neste experimento. Explique 
claramente quais seriam as etapas deste procedimento. 
 
7. Teorema de Thévenin em regime permanente senoidal 
 
7.1 Determinar o circuito equivalente de Thévenin entre os terminais A e B da 
ponte CA mostrada esquematicamente na figura 10 a seguir. 
 
 
 
Sendo os valores do capacitor, indutor e resistores: 
 
𝑅1 = 50Ω ; 𝑅2 = 1𝑘Ω ; 𝑅3 = 40Ω ; 𝑅4 = 1𝑘Ω ; 𝐶 = 200𝑛𝐹 ; 𝐿 = 1,6𝑚𝐻 
 
E a fonte 
 
𝑒𝑠(𝑡) = 50 sin(2𝜋2000𝑡) 𝑉 = 50 cos(2𝜋2000𝑡 − 90°) = 50∠ − 90° 
 
Sabendo que em uma ponte de Wheatstone qualquer 
18 
 
 
 
O gerador equivalente de Thévenin é dado ela relação a seguir [A]: 
 
 
 
Como o circuito contém indutor e capacitor, é necessário trabalhar com a 
impedância no lugar da resistência dos componentes, chegando na expressão 
 
𝑉𝑇ℎ = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑉𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 × (
𝑍𝑅4
𝑍𝐿 + 𝑍𝑅3+𝑍𝑅4
− 
𝑍𝑅2 + 𝑍𝐶
𝑍𝑅1+𝑍𝑅2+𝑍𝐶
 ) 
 
Substituindo os valores dos componentes e utilizando as fórmulas de 
impedância do capacitor e indutor bem como as relações entre números complexos 
e fasores, temos: 
 
𝑉𝑇ℎ = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 50 ∠ − 90° × (
1000
20,11j + 40 + 1000
− 
1000 − 397,89j
1000 + 50 − 397,89j
 ) 
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 50 ∠ − 90° × [(0,961 ∠ − 1,11°) − (0,958 ∠ − 0,95°)] 
 
⇒ (0,961∠ − 1,11°) − (0,958 ∠ − 0,95°) = (2,951 × 10−3 + 2,733 × 10−3𝑗) 
= 4,022 × 10−3∠42,8° 
 
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 50 ∠ − 90° × (4,022 × 10
−3∠42,8°) 
𝑉𝑇ℎ = 2,011 × 10
−1∠ − 47,2° 𝑉 
 
19 
 
Da mesma maneira, sabe-se que a resistência equivalente de Thevenin é dada por 
 
Teremos 
𝑅𝑇ℎ = 𝑍𝑒𝑞. =
(𝑍𝐿 + 𝑅3)𝑅4
𝑍𝐿 + 𝑅3 + 𝑅4
+
𝑅1(𝑍𝐶 + 𝑅2)
𝑅1 + 𝑍𝐶 + 𝑅2
 
 
𝑍𝑒𝑞. =
(20,106𝑗 + 40)1000
1040 + 20,106𝑗
+
50(−397,89𝑗 + 1000)
1050 − 397,89𝑗
 
 
𝑅𝑇ℎ =
20106𝑗 + 40000
1040 + 20,106𝑗
+
50000 − 19894,5𝑗
1050 − 397,89𝑗
 
 
𝑅𝑇ℎ =
44768,86∠26,68°
1040,2∠1,11°
+
53812,5∠ − 21,7°
1122,86∠ − 20,75°
 
 
𝑅𝑇ℎ = 43,03∠25,57° + 47,92∠ − 0,95° 
 
𝑅𝑇ℎ = (38,81 + 18,57𝑗) + (47,91 − 0,79𝑗) 
 
𝑅𝑇ℎ = 86,72 + 17,78𝑗 = 88,52∠11,58°Ω 
 
7.2 Determine a tensão numa carga 𝐑𝐂 = 𝟏𝟎𝟎𝛀 conectada entre os terminais A e 
B. 
Inserindo uma resistência de 100Ω entre A e B, e realizando a análise nodal 
do sistema, encontra-se 
 
(
1
40 + 20,1𝑖
+
1
100
+
1
1000
) 𝑒𝐴 −
𝑒𝐵
100
− (50𝑗 ×
1
40 + 20,1𝑗
) = 0 
−
1
100
𝑒𝐴 + (
1
50
+
1
100
+
1
1000 − 398𝑗
) 𝑒𝐵 − (50𝑗 ×
1
50
) = 0 
 
Resolvendo o sistema, encontra-se os valores aproximados: 
 
20 
 
VA=0,907+ 48,019j e VB=0,830+47,952j 
 
Portanto, V no resistor entre os pontos A e B 
 
VA−B = 0,077 + 0,067j = 0,102∠41,02° 
 
7.3 Utilizar o LTSpice para simular o circuito da figura 10, e obter a tensão numa 
carga 𝐑 = 𝟏𝟎𝟎𝛀 conectada entre os terminais A e B. Comparar com o valor 
calculado no item 2. 
 
Ao realizar a simulação no programa LTspice, foi gerado o gráfico a seguir, 
com os valores de V(B), V(A) e V(A)-V(B): 
 
 
Para realizar a comparação dos resultados da simulação e dos cálculos 
manuais, é necessário calcular o valor RMS das tensões obtidas na simulação: 
 
21 
 
 
 
Calculando o valor RMS da tensão encontrada nos cálculos manuais, chega-
se a RMS = 0,071V, valor muito próximo do encontrado na simulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Referências Bibliográficas 
 
[1] BOYLESTAD, R. L.; Análise de Circuitos; 12ª ed., Pearson; São Paulo, 2012. 
 
[2] PEREIRA, L. A.; Circuito Equivalente de Thévenin e Norton; Pontifícia 
Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS; Porto Alegre, 2004. 
Disponível em: 
http://www.pessoal.utfpr.edu.br/pichorim/AULA/Fund_Elet_Eletronica/AnCirc_LAPer
eira_TheveninNorton.pdf. Acessado em 06 de Novembro de 2014.