Problema 10. Si ???????????????? es una matriz cuadrada, demuestre que el conjunto ???? de todas las matrices cuadradas que conmutan al producto con ???? (vale...

Problema 10. Si ???????????????? es una matriz cuadrada, demuestre que el conjunto ???? de todas las matrices cuadradas que conmutan al producto con ???? (vale decir matrices cuadradas ???? tales que ???????? = ????????) es un subespacio. Desarrollo (a) Consideremos la matriz nula 0???????????? entonces: 0???????????? ∙ ???????????????? = ???????????????? ∙ 0???????????? = 0???????????? De lo anterior se concluye que la matriz nula (0????????????) conmuta con ???? al producto y se tiene que 0???????????? ∈ ????. (b) Supongamos que ???????????????? , ???????????????? pertenecen a W, vale decir: { ???????? = ???????? ???????? = ???????? Entonces: (???? + ????)???? = ???????? + ???????? = ???????? + ???????? = ????(???? + ????) y de esto se concluye que ???? + ???? ∈ ???? (c) Supongamos que ???????????????? pertenece a W, vale decir ???????? = ???????? y además ???? ∈ ℝ Entonces: (????????)???? = ????(????????) = ????(????????) = ????(????????) y de esto se concluye que ???????? ∈ ???? De (a), (b) y (c), ???? es un subespacio