Indique, y justifique, cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa: (k1) Si {X1, X2, . . . , Xk} es una base de R7 entonces k = 7. (k...
(k1) Si {X1, X2, . . . , Xk} es una base de R7 entonces k = 7.
(k2) Si {X1, X2, . . . , Xk} genera R9 entonces k = 9.
(k3) Si {X1, X2, . . . , Xk} son vectores l.i de R14 entonces k ≤ 14.
(k1) Verdadero, ya que todas las bases de R7 deben tener 7 elementos, es decir, k = 7.
(k2) No necesariamente, ya que para generar R9 se podŕıan ocupar 9 o más vectores. Si usamos más de 9, a pesar de que generan ocurre que esos vectores son l.d. Si ocupamos exactamente 9, los vectores son l.i y por ende una base. En ningún caso uno podŕıa generar R9 con menos de 9 vectores.
(k3) Verdadero, ya que en R14 a lo más 14 vectores pueden ser l.i. (un conjunto con 15 o más vectores es l.d).
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Ed 
A afirmação verdadeira é (k1) Se {X1, X2, ..., Xk} é uma base de R7, então k = 7. Isso ocorre porque uma base de um espaço vetorial deve conter um número de vetores igual à dimensão desse espaço. Como R7 tem dimensão 7, a base deve ter 7 vetores. A afirmação (k2) é falsa. Para gerar R9, podem ser necessários 9 ou mais vetores. Se usarmos mais de 9 vetores, eles serão linearmente dependentes. Se usarmos exatamente 9 vetores, eles serão linearmente independentes e, portanto, formarão uma base para R9. Em nenhum caso é possível gerar R9 com menos de 9 vetores. A afirmação verdadeira é (k3) Se {X1, X2, ..., Xk} são vetores linearmente independentes em R14, então k ≤ 14. Isso ocorre porque em R14, no máximo, 14 vetores podem ser linearmente independentes. Um conjunto com 15 ou mais vetores será linearmente dependente.
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