Encuentre α ∈ R para que los vectores X1 = (7 α ) ∈ R2, X2 = (2 α− 3 ) ∈ R2 sean l.d. Por otro lado, encuentre α para que esos vectores sean l.i.

Para que os vetores X1 e X2 sejam linearmente dependentes, é necessário que exista um valor de α tal que um vetor seja múltiplo escalar do outro. Podemos verificar isso igualando os vetores e resolvendo o sistema de equações: (7, α) = k(2, α - 3) Igualando as coordenadas, temos: 7 = 2k α = α - 3k Da primeira equação, encontramos k = 7/2. Substituindo esse valor na segunda equação, temos: α = α - 3(7/2) α = α - 21/2 No entanto, essa equação não possui solução, o que significa que não existe um valor de α para que os vetores sejam linearmente dependentes. Para que os vetores sejam linearmente independentes, é necessário que não exista um valor de α que os torne dependentes. Nesse caso, podemos verificar se a matriz formada pelos vetores é invertível. Se a matriz for invertível, os vetores serão linearmente independentes. A matriz formada pelos vetores X1 e X2 é: | 7 2 | | α α-3 | Para que essa matriz seja invertível, seu determinante deve ser diferente de zero. Calculando o determinante, temos: det = (7)(α - 3) - (2)(α) det = 7α - 21 - 2α det = 5α - 21 Para que a matriz seja invertível, o determinante deve ser diferente de zero. Portanto, temos: 5α - 21 ≠ 0 Resolvendo essa inequação, encontramos: 5α ≠ 21 α ≠ 21/5 Portanto, para que os vetores sejam linearmente independentes, o valor de α não pode ser igual a 21/5.